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编程问答

【2021.02.09更新】数学常用基本公式

發布時間：2023/12/2 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【2021.02.09更新】数学常用基本公式小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

泰勒級數

條件不多說了，函數 $f (x)$ 在點 $x = {x_0}$ 出展開為
$f(x0)+f′(x0)(x?x0)+f′′(x0)2!(x?x0)2+?+f(n)(x0)n!(x?x0)n+?f({x_0}) + f'({x_0})(x - {x_0}) + \frac{{f''({x_0})}}{{2!}}{(x - {x_0})^2} + \cdots + \frac{{{f^{(n)}}({x_0})}}{{n!}}{(x - {x_0})^n} + \cdots$

超量均方誤差（超量MSE）

誤差 $e (k)$ ，則 $ξ(k)\xi (k)$ 為 $e (k)$ 平方的期望（也是MSE曲面），即
$ξ(k)=E[e2(k)]\xi (k) = E\left[ {{e^2}(k)} \right]$

${e_0}(k) - \Delta {{\bf{w}}^T}(k){\bf{x}}(k)$

式中， $e_0(k)$ 為最優輸出誤差 $e0(k)=d(k)?w0Tx(k)e_0(k)=d(k)-{\bf{w_0^T} x}(k)$ ，其平方的期望為 $ξmin?{\xi _{\min }}$

$R=E[x(k)xT(k)]{\bf{R}} = E\left[ {{\bf{x}}(k){{\bf{x}}^{\mathop{\rm T}\nolimits} }(k)} \right]$

$ξ(k)=ξmin?+tr{E[x(k)xT(k)]E[Δw(k)ΔwT(k)]}=ξmin?+E[Δw(k)ΔwT(k)]\xi (k) = {\xi _{\min }} + {\mathop{\rm tr}\nolimits} \left\{ {E\left[ {{\bf{x}}(k){{\bf{x}}^{\mathop{\rm T}\nolimits} }(k)} \right]E\left[ {\Delta {\bf{w}}(k)\Delta {{\bf{w}}^{\mathop{\rm T}\nolimits} }(k)} \right]} \right\}\\ = {\xi _{\min }} + E\left[ {\Delta {\bf{w}}(k)\Delta {{\bf{w}}^{\mathop{\rm T}\nolimits} }(k)} \right]$

則MSE的超量定義為

$Δξ(k)?ξ(k)?ξmin?\Delta \xi (k) \triangleq \xi (k) - {\xi _{\min }}$

超量均方誤差為

$ξexc=lim?k→∞Δξ(k){\xi _{{\text{exc}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \Delta \xi (k)$

重要關系式： $tr[R]=E[∣x(k)∣2]{\mathop{\rm tr}\nolimits} \left[ {\bf{R}} \right] = E\left[ {{{\left| {{\bf{x}}(k)} \right|}^2}} \right]$

$G2(fB,τ)G_2(f_B, \tau)$ 與 $τ\tau$ 的關系

$τ\tau$ 為矩形脈沖的寬度，則經過歸一化
$G2(fB,τ)=sin(πfB?τ)/πG_2(f_B, \tau)=sin(\pi f_B*\tau)/\pi$

當 $τ=0.1Ts\tau = 0.1T_s$ 時， $G2(fB,τ)=sin(0.1π)/π=0.0984G_2(f_B, \tau)=sin(0.1\pi)/\pi=0.0984$
當 $τ=0.5Ts\tau = 0.5T_s$ 時， $G2(fB,τ)=sin(0.5π)/π=0.3183G_2(f_B, \tau)=sin(0.5\pi)/\pi=0.3183$
當 $τ=0.9Ts\tau = 0.9T_s$ 時， $G2(fB,τ)=sin(0.9π)/π=0.0984G_2(f_B, \tau)=sin(0.9\pi)/\pi=0.0984$

向量范數

定義一個向量為：a=[-5,6,8,10]。

向量的1范數：向量的各個元素的絕對值之和，上述向量a的1范數結果就是：29。
向量的2范數：向量的各個元素的平方和再開平方根，上述a的2范數結果就是：15。
向量的負無窮范數：向量的所有元素的絕對值中最小的：上述向量a的負無窮范數結果就是：5。
向量的正無窮范數:向量的所有元素的絕對值中最大的：上述向量a的正無窮范數結果就是：10。

三角函數積分公式

麥克勞林展開式

冪級數求和、常見不等式

冪級數展開式

常見等價關系

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【2021.02.09更新】数学常用基本公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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