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高斯白噪声下基于EM的多径时延估计

發布時間：2023/12/2 编程问答 31 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了高斯白噪声下基于EM的多径时延估计小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

本文主要來源于復現文獻的部分內容，有一定的參考價值：
[1] 劉波. 基于EM的突發通信參數估計技術研究[D]. 2009.
文末有代碼和參考文獻網盤下載地址，有問題歡迎留言交流！

1 引言

對于多徑傳播，接收信號是由源信號與它的各次回波疊加而成的。對接收到的信號進行時間延遲估計廣泛應用于雷達、聲納、電聲測量、石油地震勘探和生物醫學等領域，具有重要的實際應用意義。

對于雷達、聲納以及無線通信等應用而言，均需要對各徑信號的時延進行估計，然后進行RAKE合并等處理，以避免由于多徑效應帶來的系統性能惡化。本文考慮發送信號已知情況下的多徑時延估計問題，此類多徑時延估計問題是主動式雷達與聲納系統中常見的；另外，無線通信領域中用于對信道進行估計和均衡的導頻信號，非合作源定位所用的照射信號中具有某些已知時域特征的部分等也屬此類問題。

經典的時間延遲估計技術采用的是匹配濾波器的方法，它利用接收信號與發射信號求相關后發生多峰的位置對時間延遲做出估計，但是這種方法的多徑分辨能力依賴于發射信號相關函數的主峰寬度(近似與信號帶寬成反比)。當信號帶寬較窄時，基于相關運算的方法會由于各個峰值的相互重疊而帶來較大的估計誤差。故目前多徑環境下時間延遲估計問題的重點是研究相關不可解情況下的高分辨率多徑時間延遲估計算法。

最大似然估計是參數估計問題的有效方法，具有近似最佳的估計性能及穩健性。但是，鑒于多信號多參數估計問題所需多維優化的復雜性，因此在多徑時延估計問題中直接使用最大似然估計方法并不可行。EM算法可以將多維優化的復雜問題分解為一系列一維優化問題的迭代，在減小運算復雜性的同時可以保證估計性能。

2 問題背景及信號模型

多徑時延估計是現代通信信號處理中信號檢測與參數估計問題的一個重要組成部分。發送端的發送信號由于受到傳播空間中不同物體的反射和漫射，使得接收機收到的信號是多條路徑上信號的合成，即接收信號 $r (t)$ 可以簡單表示為如下形式[1]：

$\sum\limits_{l = 1}^L {{h_l}s(t - {\tau _l}) + w(t)} \quad t \in [0,T)$ (1)

式中， $s (t)$ 為t時刻的發送信號； $w (t)$ 為t時刻的觀測噪聲，其符合高斯分布，平均功率為 $σ2{{\sigma }^{2}}$ ；參數 $τl{{\tau }_{l}}$ 和 ${{h}_{l}}$ 分別為各條多徑信號的時延和復信道系數，包含有信號由發送至接收所經歷的時間延遲、幅度衰減、以及相位變化等信息，反映了信號的傳播距離、傳播介質以及反射體的特性等； $L$ 為存在的總的多徑個數， $[0, T)$ 為信號的觀測區間。

3 基于EM的多徑時延估計

由第2章可知，接收信號可以表示為(1)式，總的信號路徑個數為L，因此帶估計參數向量可以表示如下

$θ=(τ1,τ2,?,τL,h1,h2,?,hL)T\theta ={{({{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}},\cdots ,{{\tau }_{L}},{{h}_{1}},{{h}_{2}},\cdots ,{{h}_{L}})}^{T}}$ (2)

本文考慮確定性信號下的[\theta ]估計問題。為不失一般性，假設

$∫Ts2(t)dt=1\int_{T}{{{s}^{2}}(t)dt=1}$ (3)

則由(2)可得[r(t)]的對數似然函數為

$ln?fR(r;θ)=C?12σ2∫[r(t)?∑l=1Lhls(t?τl)]2dt\ln {{f}_{R}}(r;\theta )=C-\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}{{\int{\left[ r(t)-\sum\limits_{l=1}^{L}{{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}})} \right]}}^{2}}dt$ (4)

其中，C為常數。為獲得 ${{h}_{l}}$ 和 $τl{{\tau }_{l}}$ 的最大似然估計量，必須解決式(5)的最優化問題。

$min?θ∫[r(t)?∑l=1Lhls(t?τl)]2\underset{\theta }{\mathop{\min }}\,{{\int{\left[ r(t)-\sum\limits_{l=1}^{L}{{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}})} \right]}}^{2}}$ (5)

這是一個2N元的復雜優化問題。當然，使用暴力也可以解決問題，在粗略的網格上通過搜索目標函數求值，粗略定位全局最小值，然后應用高斯法、牛頓－拉夫森法或其他迭代梯度搜索算法進行求解。然而，這些方法往往是非常復雜的，且需要大量的計算時間。

根據文獻[1]，對進行分解，以參與疊加的各個單徑信號分量為基礎構造完備數據如下所示

$x(t)=(x1(t),x2(t),?,xL(t))Tx(t)={{\left( {{x}_{1}}(t),{{x}_{2}}(t),\cdots ,{{x}_{L}}(t) \right)}^{T}}$ (6)

其中

$xl(t)=hls(t?τl)+wl(t){{x}_{l}}(t)={{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}})+{{w}_{l}}(t)$

$∑l=1Lwl(t)=w(t)\sum\limits_{l=1}^{L}{{{w}_{l}}(t)}=w(t)$

$r(t)=1Tx(t)1T=(1,1,?,1)r(t)={{\mathbf{1}}^{T}}x(t)\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}{{\mathbf{1}}^{T}}=(1,1,\cdots ,1)$

則有

$r(t)=∑l=1Lxl(t)r(t)=\sum\limits_{l=1}^{L}{{{x}_{l}}(t)}$ (7)

我們希望通過使 $ln?fR(r;θ)\ln {{f}_{R}}(r;\theta )$ 最大來求解的最大似然估計量（MLE），但這是困難的，以求 $ln?fX(x;θ)\ln {{f}_{X}}(x;\theta )$ 的最大值來代替，因x無法求得，故使用對數似然函數的條件數學期望來代替對數似然函數[2]，即

$E{ln?fX(x;θ)∣r;θ}=∫ln?fX(x;θ)f(x∣r;θ)dxE\left\{ \ln {{f}_{X}}(x;\theta )|r;\theta \right\}=\int{\ln }{{f}_{X}}(x;\theta )f(x|r;\theta )dx$ (8)

上式中，必須知道 $θ\theta$ 才能確定 $ln?fX(x;θ)\ln {{f}_{X}}(x;\theta )$ ，故對數似然函數的期望將作為當前的猜測，令 $θi{{\theta }^{i}}$ 表示 $θ\theta$ 的MLE的第 $i$ 次猜測，則根據

$ln?fX(x;θ)=∑l=1Lln?fXl(xl;θ)=C1?∑l=1L12σl2∫[xl(t)?hls(t?τl)]2dt\ln {{f}_{X}}(x;\theta )=\sum\limits_{l=1}^{L}{\ln {{f}_{{{X}_{l}}}}({{x}_{l}};\theta )}={{C}_{1}}-\sum\limits_{l=1}^{L}{\frac{1}{2\sigma _{l}^{2}}}{{\int{\left[ {{x}_{l}}(t)-{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}}) \right]}}^{2}}dt$ (9)

式中，C1為與待估參數無關的常數。確定完備數據的平均對數似然函數為

$Q(θ,θi)=E{ln?fX(x;θ)∣r;θ}=C2?∑l=1L12σl2∫[xli(t)?hls(t?τl)]2dtQ(\theta ,{{\theta }^{i}})=E\left\{ \ln {{f}_{X}}(x;\theta )|r;\theta \right\}={{C}_{2}}-\sum\limits_{l=1}^{L}{\frac{1}{2\sigma _{l}^{2}}}{{\int{\left[ x_{l}^{i}(t)-{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}}) \right]}}^{2}}dt$ (10)

式中，C2為與待估參數無關的常數。其中， $x_{l}^{i}(t)$ 由觀測數據 $r (t)$ 以及第 $i$ 次迭代中獲得的待估參數 $θi{{\theta }^{i}}$ 給出，利用聯合高斯隨機變量的條件期望的標準結果，可以得到如下表示

$xli(t)=E{xl(t)/∑l=1Lxl(t)=r(t);θi}=E(xl)+CxrCrr?1(r?E(r))x_{l}^{i}(t)=E\left\{ {{{x}_{l}}(t)}/{\sum\limits_{l=1}^{L}{{{x}_{l}}(t)=r(t);}}\;{{\theta }^{i}} \right\}=E\left( {{x}_{l}} \right)+{{C}_{xr}}C_{rr}^{-1}(r-E(r))$ (11)

由此可以看出，EM算法的M步驟中，對條件期望函數 $Q(θ,θi)Q(\theta ,{{\theta }^{i}})$ 的最大化問題可以通過對求和項中的各分量分別最大化來實現，即

$θ^i+1=arg?max?θQ(θ,θ^i){{\hat{\theta }}^{i+1}}=\arg \underset{\theta }{\mathop{\max }}\,Q(\theta ,{{\hat{\theta }}^{i}})$ (12)

則EM算法步驟可以描述為：

E-step：根據所獲得的條件期望函數 $Q(θ,θi)Q(\theta ,{{\theta }^{i}})$ 的表達式，利用第 $i$ 次迭代得到的參數估計 $θ^i{{\hat{\theta }}^{i}}$ 。對 l=1,2,…,L，構造數據

$xli(t)=hlis(t?τli)+βl[r(t)?∑l=1Lhlis(t?τli)]x_{l}^{i}(t)=h_{l}^{i}s(t-\tau _{l}^{i})+{{\beta }_{l}}\left[ r(t)-\sum\limits_{l=1}^{L}{h_{l}^{i}s(t-\tau _{l}^{i})} \right]$ (13)

M-step：根據上一步得到的數據，對l=1,2,…,L，計算使(14)式最優化的參數 $hli+1,τli+1h_{l}^{i+1},\tau _{l}^{i+1}$

$min?hl,τl∫[xli(t)?hls(t?τl)]2dt\underset{{{h}_{l}},{{\tau }_{l}}}{\mathop{\min }}\,{{\int{\left[ x_{l}^{i}(t)-{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}}) \right]}}^{2}}dt$ (14)

其中，

$∑l=1Lβl=1\sum\limits_{l=1}^{L}{{{\beta }_{l}}=1}$

經過化簡計算，得對應于同一信號的參數估計 $(h^l,τ^l)({{\hat{h}}_{l}},{{\hat{\tau }}_{l}})$ 為

$τ^l=arg?max?τl∫xli(t)s(t?τl)dt{{\hat{\tau }}_{l}}=\arg \underset{{{\tau }_{l}}}{\mathop{\max }}\,\int{x_{l}^{i}(t)s(t-{{\tau }_{l}})}dt$ (15)

$h^l=∫xli(t)s(t?τli+1)dt∫s2(t?τli+1)dt{{\hat{h}}_{l}}=\frac{\int{x_{l}^{i}(t)s(t-\tau _{l}^{i+1})}dt}{\int{{{s}^{2}}(t-\tau _{l}^{i+1})dt}}$ (16)

重復以上兩個步驟直到算法收斂。

4 實驗結果及分析

4.1 仿真參數設置

為了驗證上述所提出的對多徑時延EM估計方法的有效性，進行蒙特卡羅仿真實驗，實驗次數N=1000。仿真中，采用加窗的線性調頻信號 $s (t)$ 作為已知的導頻信號，如下所示

$s(t)=g(t)ej2π(t?T2)2,0<t≤Ts(t)=g(t){{e}^{j2\pi {{\left( t-\frac{T}{2} \right)}^{2}}}},\ 0<t\le T$ (17)

其中， $g (t)$ 為鐘形的窗函數，如下所示：

$g(t)={0.5?0.5cos?(πt/Tw)0<t<Tw1Tw?t?T?Tw,Tw=T100.5?0.5cos?[π(t?T)/Tw]T?Tw<t?Tg(t)=\left\{\begin{array}{ll}0.5-0.5 \cos \left(\pi t / T_{w}\right) & 0<t<T_{w} \\ 1 & T_{w} \leqslant t \leqslant T-T_{w}, T_{w}=\frac{T}{10} \\ 0.5-0.5 \cos \left[\pi(t-T) / T_{w}\right] & T-T_{w}<t \leqslant T\end{array}\right.$

信號的調頻斜率K=100000，持續時間T=20.6ms，采樣速率 ${{f}_{s}}$ =10080，采樣周期 ${{T}_{s}}=1/{{f}_{s}}$ ，信號帶寬 $B = 2 K T = 4.12 k H z$ 。設接收信號 $r (t)$ 由2路多徑信號構成，其參數分別為

$τl=16Ts,h1=ejπ/4;τ2=20Ts,h1=ejπ/8{{\tau }_{l}}=16{{T}_{s}},{{h}_{1}}={{e}^{j\pi /4}};{{\tau }_{2}}=20{{T}_{s}},{{h}_{1}}={{e}^{j\pi /8}}$ (19)

在EM算法的迭代過程中，設置迭代收斂的判定條件為對數似然函數的增量小于其取值的0.1%，滿足此條件時的參數取值即為最終估計值，即定義如下的收斂判定條件：

$Λ(r;θi+1)?Λ(r;θi)≤Λ(r;θi)×0.1\Lambda \left( \mathbf{r};{{\theta }^{i+1}} \right)-\Lambda \left( \mathbf{r};{{\theta }^{i}} \right)\le \Lambda \left( \mathbf{r};{{\theta }^{i}} \right)\times 0.1%$ (20)

4.2 仿真結果及分析

鐘形函數 $g (t)$ 的時域波形如圖1所示，線性調頻信號 $s (t)$ 的實部、虛部的時域波形如圖2，線性調頻信號的時頻圖如圖3所示。

圖1 鐘形窗函數g(t)時域波形圖圖2 線性調頻信號s(t)的實部、虛部波形圖圖3 線性調頻信號s(t)的時頻圖

圖4～圖６為對時延參數和傳播系數參數估計的均方根誤差性能隨信噪比變化的關系曲線。

圖４時延估計均方根誤差隨信噪比變化的關系曲線圖5 幅度衰減因子實部均方根誤差隨信噪比變化的關系曲線圖6 幅度衰減因子虛部均方根誤差隨信噪比變化的關系曲線

從圖中所示的仿真結果可以看出，在信噪比較低的情況下，會存在多徑時延估計不準的偶然情況，除信噪比SNR=2.5dB時，時延估計存在誤差外，其他信噪比下誤差均為0。此外，在信噪比SNR≥5.5dB時，幅度衰減因子的實部、虛部均方根誤差可達到10-3左右。仿真結果表明，高斯白噪聲下基于EM的多徑時延估計算法能夠較好地估計多徑時延和幅度衰減因子。

5 總結與展望

當多徑信號時延不是采樣周期的整數倍時，要提高時延估計的精度需要通過內插處理才能得到。在EM算法的每次迭代中都使用內插將會大大增加算法的運算量，因此可以首先對接收數據進行預處理，通過DFT將其變換到頻率域，再進行EM算法迭代處理，即可避免了原先在迭代過程中頻繁的內插處理。迭代初始值的設置既影響EM算法的收斂結果，同時也影響算法的收斂速度。初值的選擇和迭代更新可參考輪換投影（AP）方法。

6 參考文獻

[1] 劉波. 基于EM的突發通信參數估計技術研究[D]. 2009.
[2] Steven M. Kay. 統計信號處理基礎——檢測與估計理論（卷I、卷II合集）[M], 2014. 154-156.
[3] Meir Feder, Ehud Weinstein. Multipath Time-Delay Estimation via the EM Algorithm[D]. Woods Hole Oceanographic Institution, 1987.

7 代碼

下載:https://download.csdn.net/download/wlwdecs_dn/12620599

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總結

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