問題

若矩陣A滿足$A+A^{\mathrm{T}}=I$，則A可逆。

證明一

反證法。假設A不可逆，則
$?x_0=0$，使得$A{x}_0=0$，則
$$x_0{A}^{\mathrm{T}}=(A{x}_0{)}^{\mathrm{T}}=0^{\mathrm{T}}$$

$$\therefore 0=x_0^{\mathrm{T}}{x}_0=x_0^{\mathrm{T}}(A+A^{\mathrm{T}})x_0=x_0^{\mathrm{T}}A{x}_0+x_0^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}{x}_0=x_0^{\mathrm{T}}0+0^{\mathrm{T}}{x}_0=0$$

矛盾，所以A可逆。

證明二

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵可逆的一种刻画方式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。