數學基礎（三）

從本節起，我們開始進入大學數學的領域－－近世代數（也稱抽象代數）。

先給出幾個基本概念/定義。

[代數運算]：對于集合A的任意元素a、b，如果按某一運算法則（通常用某個記號，比如*來表示）進行運算，可以得到唯一的結果c∈A，則稱運算法則*為集合A上的一個二元代數運算。
說明：
1、代數運算的實質是：定義域和值域都在同一集合上的映射（或函數）。
2、在此語境下，我們也說“集合A在運算法則*下封閉”，或“集合A對運算法則*封閉”，這些說法都是等價的。
3、我們討論的代數運算都只涉及2個元素，所以通常省去“二元”，稱為代數運算，或者簡稱運算。
4、需要明確的是，*只是一個運算符號，一個記號而已，我們可以用+、^等符號代替它。在上述定義中，我們既不知道也不關心它具體是怎樣運算的，所以理論上可以隨便用個符號代替（當然在討論某一個例時，要盡量使用大家都認可的符號）。我們真正關注的是，在此定義下，該運算法則具有哪些通用的代數學上的性質可以為我們所用。可以想見，這些性質與具體運算法則無關，卻普遍適用－－這正是抽象的威力。

[代數系統]：若集合A具有代數運算*（即對*運算封閉），則稱(A，*)是代數系統
說明：
1、具有代數運算的集合或者對運算封閉的集合就是代數系統。代數運算和代數系統是一體兩面。
2、有時候，在明確知道代數運算*的情況下，可以省略運算符號，直接稱A是代數系統。事實上，我們所討論都是代數系統，因為沒有代數運算的集合沒有多大用處。

舉例：對于整數集Z，加法運算（用加號+表示）和乘法運算（用乘號*表示）都是Z上的代數運算（很簡單，是吧）
比如，取a=2、b=3，由加法運算法則，得到結果5，即2+3＝5，由乘法運算法則，則得到結果6，即2*3＝6，這說明（Z，+）、（Z，*）構成代數系統。
一個集合上可以有多個代數運算，比如整數集Z上同時定義了加法和乘法運算。

對于商集Z/～＝{[0]、[1]、[2]、…、[n-1]}，在Z/～上定義等價類之間的運算法則+：[i]+[j]≡[i+j]，其中i、j為等價類的代表元素
說明：
1、≡讀作“定義為”
2、具體運算如下：取兩個等價類中的代表元素，將它們相加，然后再做[自然映射]（[自然映射]不記得？請看前面的內容）
3、≡左邊方括號[]之間的+表示等價類之間的運算，是新定義的運算法則的記號，≡右邊的+（在方括號號[]中）表示普通的加法運算。
4、參與運算的對象是等價類，結果也是等價類。但是兩個等價類“相加”（即進行+運算）能否得到唯一的等價類，還不明確，因為同一等價類可以有多個代表元素，它們相加后可能有多個結果，對應的等價類也可能有多種結果。

幸運的是，+的運算結果是唯一的（這是Z/～能走入密碼學的基礎），請見下面

定理：+是Z/～上的代數運算
證明：設A、B是等價類，i、j是A的代表元素，s、t是B的代表元素，故i～j，s～t，根據～的定義，i－j＝k*n，s－t＝l*n（其中k、l∈Z，n是模－－還記得嗎，～必須與某一個自然數n相關聯），兩式相加，得(i+s)－(j+t)＝(k+l)*n，這正是[i]+[s]=[j]+[t]

定理：對于元素A,B,C∈Z/～，有(A+B)+C=A+(B+C)－－左邊等號表示A先加B，得到的結果再加C
證明：設A=[i]，B=[j]，C=[k]，則
?(A+B)+C
=([i]+[j])+[k]
=[i+j]+[k]
=[i+j+k]
=[i]+[j+k]
=[i]+([j]+[k])
=A+(B+C)
說明：上述情況下，稱“運算+是可結合的”，或“+滿足結合律”。

定理：[0]是Z/～中的特殊元素，滿足：[0]+[i]=[i]+[0]=[i]，其中i為Z/～中任意等價類的代表元素
證明：[0]+[i]=[0+i]=[i]=[i+0]=[i]+[0]

定理：對于任意元素A∈Z/～，都存在一個元素B∈Z/～，滿足：A+B=[0]=B+A
證明：設A=[i]，很明顯只要取B=[-i]就能夠滿足：A+B=[i+(-i)]=[0]=[(-i)+i]+B+A

[群]：對于集合G，給定G上的一個運算法則+，滿足下列四個條件，則稱(G,+)或G為一個群
1、G對運算+是封閉的，即對任意元素a、b∈G，有唯一確定的元素c∈G，滿足c=a+b
2、G對運算+是可結合的，即對任意a、b、c∈G，滿足a+(b+c)=(a+b)+c
3、G中有一元素e，對任意a∈G，滿足a+e=e+a=a
4、對于任意a∈G，都有一個b∈G，滿足a+b=b+a=e
說明：
1、條件3中的e稱為單位元或恒等元，條件4中的b稱為a的可逆元（或逆元），有時記為a^-1
2、條件4成立的前提，是條件3中的單位元存在
3、單位元是相對具體運算而言，如果G中存在另外一個代數運算_，則“對于任意a，a_e=e_a=e”可能不成立，即e可以不是運算_的單位元。
4、再次強調，+只是運算法則的一個記號，我們完全可以用+、-、*來代替

根據上面的四個定理，Z/～對于運算+構成一個群。我們說，（Z/～，+）是一個群。或者在不引起混淆的情況下，省去+稱Z/～是一個群。

此外，對于Z/～，運算+還滿足另一個性質：對于任意A、B∈Z/～，A+B=B+A
證明：設A=[i]，B=[j]，則A+B=[i]+[j]=[i+j]=[j+i]=[j]+[i]=B+A
說明：上述情況下，稱運算+是可交換的，或+滿足交換律。稱Z/～（相對運算+）是交換群，有時候又稱為可換群。

Z/～作為一個群，其元素個數是有限的，故稱為有限群。

說明：對于群Z/～，為了突出它與模n的關系，我們常簡記為Zn。后面將一直使用這個記號，請注意。

轉載于:https://www.cnblogs.com/efzju/archive/2011/08/02/2125618.html

總結

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