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提示：BFS找增廣鏈 + 壓入重標(biāo)法

解題思路：

多源多匯最大流問題

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題目給出很多都是廢話，特別是符號(hào)s(u)，d(u)，Con還有那條公式都別管，混淆視聽

難點(diǎn)在于構(gòu)圖

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電站p(u)均為源點(diǎn)，用戶c(u)均為匯點(diǎn)，中轉(zhuǎn)站當(dāng)普通點(diǎn)處理

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第一個(gè)誤區(qū)是例圖， 結(jié)點(diǎn) 和 邊 都有x/y（流量和容量），這個(gè)很容易使人產(chǎn)生矛盾（因?yàn)閷W(xué)習(xí)最大流問題是，只有 邊 才有流量和容量。

???? 但是不難發(fā)現(xiàn)，題目所給的例圖中有多個(gè)源點(diǎn)，多個(gè)匯點(diǎn)，多個(gè)普通點(diǎn)，只有源點(diǎn)和匯點(diǎn)才標(biāo)有 x/y，普通點(diǎn)沒有標(biāo)x/y，而且所給出的所有邊都有x/y。 這無疑在促使我們對(duì)圖做一個(gè)變形： 建議一個(gè)超級(jí)源s，一個(gè)超級(jí)匯t，使s指向所有源點(diǎn)，并把源點(diǎn)的 容量y 分別作為這些邊的 容量，使所有匯點(diǎn)指向t，并把匯點(diǎn)的容量y分別作為這些邊的 容量，然后本來是源點(diǎn)和匯點(diǎn)的點(diǎn)，全部變?yōu)槠胀c(diǎn)。這樣就把“多源多匯最大流”變形為“單源單匯最大流”問題。

第二個(gè)誤區(qū)就是流量值。 學(xué)習(xí)最大流問題時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)邊上的流量值是給定初始值的，但是這題的輸入只有容量，沒有流量，很多人馬上感覺到無從入手。其實(shí)邊上的流量初始值為多少都沒有所謂，解最大流需要用到的只有容量。但是一般為了方便起見， 會(huì)把所有邊的流量初始化為0。這樣做有一個(gè)最大的好處，就是可以回避 反向弧 的存在，這個(gè)下面詳細(xì)敘述。

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本題中要注意的是：

1、? 如果輸入中，某一點(diǎn)上有環(huán)，就無視掉。環(huán)是否存在不影響最終結(jié)果。

2、? 一般兩點(diǎn)之間都是單邊，一旦存在雙邊也沒有問題，因?yàn)橛啥x知兩個(gè)方向的容量一定相等（其實(shí)不相等也無妨，因?yàn)槠渲杏幸粭l為 反向弧，前面已經(jīng)提到 反向弧 是可以直接回避、無視的，因此反向弧上的容量為多少就不重要了），而且在尋找增廣路的標(biāo)號(hào)過程中，搜索的是未標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，就是說(u,v)這條弧即使是雙向的，但一旦從u到達(dá)v后，就不能回頭了，因?yàn)閮烧叨急粯?biāo)記了，即另外一條弧就不起任何作用了。

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下面詳細(xì)說說為什么能夠回避反向弧。

首先需要明確，任意一個(gè)點(diǎn)j上記錄的信息有：

1、? 尋找增光路時(shí)，除超級(jí)源s外，增廣路上任一點(diǎn)j都有一個(gè)唯一的前驅(qū)i（i被記錄在j）

2、? min{從i到j的容流差,l(vi)}

3、? 構(gòu)圖時(shí)，除超級(jí)匯t外，圖上任一點(diǎn)j都會(huì)直接指向一些點(diǎn)(這些點(diǎn)作為后繼點(diǎn)，同在記錄在j)

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從這個(gè)特點(diǎn)可以知道，從超級(jí)源開始尋找增廣路時(shí)，萬一遇到雙向邊，正向弧，反向弧自動(dòng)被回避。萬一遇到單向邊，如果是非飽和正向弧，就會(huì)繼續(xù)走下去；如果是反向弧，這條弧必然是 零弧（每條邊初始化流量均為0），定義知如果增廣路有反向弧，它必須要是非零弧，而且由于反向弧每次都不會(huì)經(jīng)過，所以在改進(jìn)增廣路時(shí)反向弧上的流量也不會(huì)被改變，永遠(yuǎn)為0，也就與最終結(jié)果無關(guān)了

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最后當(dāng)無法尋找增廣路時(shí)，最大流就是與超級(jí)源s直接關(guān)聯(lián)的邊上的 流量之和

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1 /*BFS+壓入重標(biāo)法*/
2
3
4 //Memory Time
5 //384K 860MS
6
7 #include<iostream>
8 using namespace std;
9
10 const int inf=10001;
11
12 int n; //總節(jié)點(diǎn)數(shù)
13 int np; //電站數(shù)
14 int nc; //用戶數(shù)
15 int line; //線路數(shù)
16 int cap[102][102]; //弧(u,v)的容量
17 int flow[102][102]; //弧(u,v)的流量
18 bool vist[102]; //標(biāo)記點(diǎn)v是否已標(biāo)號(hào)
19 int s,t; //超級(jí)源，超級(jí)匯
20
21 class info //當(dāng)前點(diǎn)v的標(biāo)記信息
22 {
23 public:
24 int pre; //當(dāng)前點(diǎn)v的前驅(qū)u
25 int lv; //l(v)
26 int nei[101]; //當(dāng)前結(jié)點(diǎn)直接指向的鄰居結(jié)點(diǎn)
27 int pn; //鄰居結(jié)點(diǎn)的指針
28 }node[102];
29
30 int min(int a,int b)
31 {
32 return a<b?a:b;
33 }
34
35 void back(void)
36 {
37 int x=t;
38 while(x!=s)
39 {
40 flow[ node[x].pre ][x] += node[t].lv; //改進(jìn)增廣路
41 x=node[x].pre;
42
43 }
44 return;
45 }
46
47 bool bfs(void)
48 {
49 memset(vist,false,sizeof(vist));
50 node[s].pre=-1;
51 node[s].lv=inf;
52 vist[s]=true;
53
54 int queue[102];
55 int head=0;
56 int tail=0;
57 queue[tail++]=s;
58
59 while(head<=tail-1) //注意，這是再也找不到增廣路的結(jié)束條件
60 {
61 int x=queue[head];
62 int y;
63 for(int i=0;i<node[x].pn;i++)
64 {
65 y=node[x].nei[i];
66 if(!vist[y] && flow[x][y]<cap[x][y]) //搜索的目標(biāo)要求是 未標(biāo)記 & 非飽和弧
67 {
68 queue[tail++]=y;
69
70 vist[y]=true;
71 node[y].pre=x;
72 node[y].lv=min( node[x].lv , cap[x][y]-flow[x][y] );
73 }
74 if(vist[t]) //當(dāng)超級(jí)匯被標(biāo)記
75 break;
76 }
77 if(!vist[t])
78 head++;
79 else
80 return true; //搜索到一條增廣路
81 }
82 return false;
83 }
84
85 int main(int i,int j,int u,int v,int z,char temp)
86 {
87 while(cin>>n>>np>>nc>>line)
88 {
89 /*Initial*/
90
91 s=n;
92 t=n+1;
93 for(i=0;i<n+1;i++)
94 node[i].pn=0;
95
96 /*Input & Structure Maps*/
97
98 for(i=1;i<=line;i++)
99 {
100 cin>>temp>>u>>temp>>v>>temp>>z;
101 if(u==v)
102 continue; //不需要環(huán)
103 cap[u][v]=z;
104 flow[u][v]=0; //每條邊的流量都初始化為0
105 node[u].nei[ node[u].pn++ ]=v;
106 }
107 for(i=1;i<=np;i++)
108 {
109 cin>>temp>>v>>temp>>z;
110 cap[s][v]=z; //建立超級(jí)源，指向所有電站
111 flow[s][v]=0;
112 node[s].nei[ node[s].pn++ ]=v;
113 }
114 for(i=1;i<=nc;i++)
115 {
116 cin>>temp>>u>>temp>>z;
117 cap[u][t]=z; //建立超級(jí)匯，被所有用戶指向
118 flow[u][t]=0;
119 node[u].nei[ node[u].pn++ ]=t;
120 }
121
122 /*標(biāo)號(hào)法找增廣軌*/
123
124 while(true)
125 {
126 if(bfs()) //如果能搜到到增廣路
127 back(); //從超級(jí)匯開始回溯,改進(jìn)增廣路
128 else
129 {
130 int max=0; //輸出最大流
131 for(i=0;i<node[s].pn;i++)
132 max+=flow[s][ node[s].nei[i] ];
133 cout<<max<<endl;
134 break;
135 }
136 }
137 }
138 return 0;
139 }

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總結(jié)

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