第四章 相關(guān)系數(shù)

　　[內(nèi)容導(dǎo)讀]
　　本章的內(nèi)容在課程中具有承上啟下的重要作用。一方面，相關(guān)系數(shù)是反映與描述一組數(shù)據(jù)的概括性特征量數(shù)，只不過(guò)這里的數(shù)據(jù)是二元變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)。另一方面，對(duì)相關(guān)系數(shù)內(nèi)容的理解與掌握，是建立在散點(diǎn)圖、平均數(shù)、離差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差等 內(nèi)容的基礎(chǔ)上的 。另外，相關(guān)分析的思想方法對(duì)于學(xué)習(xí)與研究后續(xù)章節(jié)有關(guān)教育測(cè)驗(yàn)理論或考試?yán)碚摼哂兄匾淖饔谩?br /> 　　本章重要的知識(shí)點(diǎn)有：相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義與解釋；積差相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法、等級(jí)相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法，點(diǎn)雙列相關(guān)計(jì)算方法及結(jié)果解釋。本章的難點(diǎn)是點(diǎn)雙列相關(guān)系數(shù)的計(jì)算思想方法和結(jié)果的解釋。本章公式較多，容易混淆,在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)，不要死記硬背公式,應(yīng)當(dāng)在理解統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)概念及相關(guān)分析的思想方法基礎(chǔ)上，通過(guò)閱讀教材內(nèi)容，系統(tǒng)掌握在不同情形下計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法。考慮到計(jì)算相關(guān)系數(shù)的計(jì)算工作量一般較多，因此，考生可更加關(guān)注本章內(nèi)容中的具體例子，領(lǐng)會(huì)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)及計(jì)算相關(guān)系數(shù)的再配合做適量的練習(xí)，以加深理解。

第一節(jié) 相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義

一、對(duì)相關(guān)現(xiàn)象的感覺(jué)

　　教育工作者常發(fā)覺(jué)，許多教育現(xiàn)象之間或教育行為之間存在著一定的相互聯(lián)系。例如，在學(xué)習(xí)行為上，隱隱約約地表現(xiàn)出這么一些特點(diǎn)：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)之間關(guān)系密切，似乎許多數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生在物理科目上的成績(jī)大多也是優(yōu)秀的，許多數(shù)學(xué)水平中等的學(xué)生在物理科目上的學(xué)習(xí)水平大多數(shù)也是中等的，許多數(shù)學(xué)成績(jī)較差的學(xué)生物理科目上的學(xué)習(xí)成績(jī)大多也是較差的。這說(shuō)明數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)之間確定存在一種“ 水漲船高、水落船低 ”的互相關(guān)聯(lián)的趨勢(shì)。當(dāng)然,并不是所有事物之間都有這么一種相同的明顯的關(guān)聯(lián)趨勢(shì)。比如，數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)之間或語(yǔ)文成績(jī)與化學(xué)成績(jī)之間，其相互關(guān)聯(lián)的趨勢(shì)就不是那么明顯可察。而另外一些教育現(xiàn)象，例如對(duì)學(xué)習(xí)材料的復(fù)習(xí)次數(shù)與遺忘量之間的關(guān)系，其遺忘量在一定范圍內(nèi)隨著復(fù)習(xí)次數(shù)的增加而減小。可見(jiàn)，行為變量或現(xiàn)象之間存在著種種不同模式不同程度的聯(lián)系。

二、相關(guān)的意義及相關(guān)系數(shù)的初步認(rèn)識(shí)

　　直線(xiàn)性相關(guān)是所有關(guān)聯(lián)模式中最簡(jiǎn)單的一種，有關(guān)聯(lián)的兩個(gè)變量各自以大體均等的速度變化著。若以平面坐標(biāo)散點(diǎn)圖來(lái)理解，直線(xiàn)性相關(guān)意指：兩個(gè)變量的成對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系上描點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖分布的教點(diǎn)會(huì)環(huán)繞在某一條直線(xiàn)附近。
　　統(tǒng)計(jì)學(xué)上用相關(guān)系數(shù)來(lái)定量描述兩個(gè)變量之間的直線(xiàn)性相關(guān)的強(qiáng)度與方向。如果相互關(guān)聯(lián)著的兩變量，一個(gè)增大另一個(gè)也隨之增大，一個(gè)減小另一個(gè)也隨之減小，變化方向一致，就稱(chēng)兩變量之間有正相關(guān)。如果相互關(guān)聯(lián)著的兩變量，一個(gè)增大另一個(gè)反而減小，變化方向相反，就稱(chēng)叫兩變量之間有負(fù)相關(guān)。如果這種關(guān)聯(lián)十分緊密，一個(gè)變量有了某種程度的變化，另一個(gè)也有十分類(lèi)似程度的變化，那么就叫相關(guān)的強(qiáng)度大；否則，就叫相關(guān)的強(qiáng)度小。相關(guān)系數(shù)用r表示，r在-1和+1之間取值。相關(guān)系數(shù)r 的絕對(duì)值大小（即），表示兩個(gè)變量之間的相關(guān)強(qiáng)度；相關(guān)系數(shù)r的正負(fù)號(hào),表示相關(guān)的方向，分別是正相關(guān)和負(fù)相關(guān)；若相關(guān)系數(shù)r=0，稱(chēng)零線(xiàn)性相關(guān)，簡(jiǎn)稱(chēng)零相關(guān)；相關(guān)系數(shù) =1時(shí)，表示兩個(gè)變量是完全相關(guān)，這時(shí),兩個(gè)變量之間的關(guān)系成了確定性的函數(shù)關(guān)系,這種情況在行為科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中是極少存在的。
　　一般說(shuō)來(lái),若觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)足夠多的話(huà),計(jì)算出來(lái)的相關(guān)系數(shù)r 就會(huì)更真實(shí)地反映客觀事物之間的本來(lái)面目。通常是，當(dāng)0.7<1，稱(chēng)為高相關(guān)；當(dāng)0.4時(shí)，稱(chēng)為中等相關(guān)；當(dāng)0.2時(shí)，稱(chēng)為低相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)極低相關(guān)或接近零相關(guān)。

三、由散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)相關(guān)情況

　　上面我們以經(jīng)說(shuō)過(guò)直線(xiàn)性相關(guān)去的含義，是以平面坐標(biāo)散點(diǎn)圖來(lái)理解，我們還可以從相關(guān)散點(diǎn)圖的幾何分布形態(tài)來(lái)認(rèn)識(shí)相關(guān)的強(qiáng)度與方向，如果散點(diǎn)圖形雜亂無(wú)章,沒(méi)有顯示出向某個(gè)方向延伸的情形,則說(shuō)明相關(guān)程度很低；如果散點(diǎn)圖分布形成一個(gè)邊界不規(guī)則的橢圓，則說(shuō)明兩個(gè)變量存在中等程度的相關(guān)；若這里的橢圓越扁長(zhǎng)，則相關(guān)程度越高。倘若散點(diǎn)圖幾乎形成一條直線(xiàn)，則說(shuō)明相關(guān)系數(shù)接近1或-1。至于相關(guān)的方向，則可以通過(guò)散點(diǎn)橢圓圖形的長(zhǎng)軸所在直線(xiàn)的斜率來(lái)判斷。從左下方往右上方延伸的情形是正相關(guān)；從左上方往右下方延伸的情形是負(fù)相關(guān)。這樣，我們可以從散點(diǎn)圖的分布情況，初步判斷兩個(gè)變量之間的相關(guān)情況。
　　由于事物之間聯(lián)系的復(fù)雜性，在實(shí)際研究中，通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法確定出來(lái)的相關(guān)系數(shù)r即使是高度相關(guān)， 我們?cè)诮忉屜嚓P(guān)系數(shù)的時(shí)候，還要結(jié)合具體變量的性質(zhì)特點(diǎn)和有關(guān)專(zhuān)業(yè)知識(shí)進(jìn)行。兩個(gè)高度相關(guān)的變量,它們之間可能具有明顯的因果關(guān)系；也可能只具有部分因果關(guān)系；還可能沒(méi)有直接的因果關(guān)系，其數(shù)量上的相互關(guān)聯(lián)，只是它們共同受到其他第三個(gè)變量所支配的結(jié)果。除此之外，相關(guān)系數(shù)r接近零,這只是表示這兩個(gè)變量不存在明顯的直線(xiàn)性相關(guān)模式，但不能肯定地說(shuō)這兩個(gè)變量之間就沒(méi)有規(guī)律性的聯(lián)系。通過(guò)散點(diǎn)圖我們有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)變量之間存在明顯的某種曲線(xiàn)性相關(guān)，但計(jì)算直線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)時(shí)，其r值往往接近零。對(duì)于這一點(diǎn)，讀者應(yīng)該有所認(rèn)識(shí)。
　　在統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書(shū)中，除非特別說(shuō)明，直線(xiàn)性相關(guān)一般情況下就稱(chēng)相關(guān)； 直線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)就稱(chēng)相關(guān)系數(shù)。 相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法多種多樣，本章主要學(xué)習(xí)積差相關(guān)、等級(jí)相關(guān)和點(diǎn)雙列相關(guān)。這些相關(guān)分析方法在行為科學(xué)研究以及在教育與心理測(cè)量研究中有廣泛的應(yīng)用。

總結(jié)

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