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编程问答

【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )

發布時間：2025/6/17 编程问答 16 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】生成函数 ( 求和性质 ) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

參考博客 :

生成函數求和性質 1 :

$bn=∑i=0naib_n = \sum\limits_{i=0}^{n}a_i$ , 則 $\cfrac{A(x)}{1-x}$

數列 $a_n$ 的生成函數是 $A (x)$ , 數列 $b_n$ 的生成函數是 $B (x)$ ,

數列 $an={a0,a1,a2,?}a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots \}$ , 數列 $bn={b0,b1,b2,?}b_n = \{ b_0 , b_1, b_2 , \cdots \}$ ;

數列 $a_n$ 的生成函數 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$

數列 $b_n$ 的生成函數 $b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots$

$b_n$ 數列中的第 $n$ 項 , 等于 $a_n$ 數列中的前 $n$ 項的和 ;

推導 $b_n$ 數列的項 :

$b_0 = a_0$

$b_1 = a_0 + a_1$

$b_2 = a_0 + a_1 + a_2$

$?\vdots$

$bn=a0+a1+a2+?+anb_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

推導生成函數的項 :

$B (x)$ 中的 $x^0$ 項 ( 常數項 ) : $b_0 \ \ \ = a_0$

$B (x)$ 中的 $x^1$ 項 ( 常數項 ) : $b_1x \ = (a_0 + a_1)x$

$B (x)$ 中的 $x^2$ 項 ( 常數項 ) : $b_2x^2 = (a_0 + a_1 + a_2)x^2$

$?\vdots$

$B (x)$ 中的 $x^n$ 項 ( 常數項 ) : $bnxn=(a0+a1+a2+?+an)xnb_nx^n = (a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n)x^n$

將上述 $B (x)$ 中的各項相加 : 相加的策略是縱向相加 , 如下圖所示 :

第 $1$ 列相加 : $a0+a0x+a0x2+?+a0xn=a011?xa_0 + a_0 x + a_0x^2 + \cdots + a_0x^n = a_0\cfrac{1}{1-x}$

第 $2$ 列相加 : $a1x+a1x2+?+a1xn=a1x11?xa_1 x + a_1x^2 + \cdots + a_1x^n = a_1x\cfrac{1}{1-x}$

$?\vdots$

第 $n$ 列相加 : $anxn=anxn11?xa_nx^n = a_nx^n\cfrac{1}{1-x}$

最終得到 :

$a_0\cfrac{1}{1-x} + a_1x\cfrac{1}{1-x} + \cdots + a_nx^n\cfrac{1}{1-x} + \cdots$

將其中的 $11?x\cfrac{1}{1-x}$ 提取出來 , 就可以得到 :

$\cfrac{1}{1-x} ( a_0 + a_1x + + \cdots + a_nx^n + \cdots )$

$\cfrac{1}{1-x} A(x)$

生成函數求和性質 2 :

$bn=∑i=n∞aib_n = \sum\limits_{i=n}^{\infty}a_i$ , 并且 $=\sum\limits_{i=n}^{\infty}a_i$ 收斂 , 則 $\cfrac{A(1) - xA(x)}{1-x}$

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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