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• 一、生成函數移位性質 1 ( 向后移位 )
• 二、生成函數移位性質 2 ( 向前移位 )

參考博客 :

• 【組合數學】生成函數 簡要介紹 ( 生成函數定義 | 牛頓二項式系數 | 常用的生成函數 | 與常數相關 | 與二項式系數相關 | 與多項式系數相關 )
• 【組合數學】生成函數 ( 線性性質 | 乘積性質 )

一、生成函數移位性質 1 ( 向后移位 )

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生成函數移位性質 1 ( 向后移位 ) :

$b(n)=?\begin{array}{ll}0,& n<l\\ & \\ a_{n?l},& n\ge l\end{array}$ , 則 $B(x)=x^{l}A(x)$

由 已知數列 $a_n$ 的 生成函數 $A(x)$ , 求 另外數列 $b_n$ 的 生成函數 $B(x)$ ;

已知數列 $a_n=\{a_0,a_1,?,a_n,?\}$ , 生成函數為 $A(x)$ ;

數列 $b_n$ 與 $a_n$ 的關系是 , $b_n$ 在 $a_n$ 的前面增加了 $l$ 個 $0$ ;

數列 $a_n$ : $a_0,a_1,?,a_n,?$

數列 $b_n$ : $\begin{array}{c}0,0,?,0\\ l個0\end{array},$$a_0,a_1,?,a_n,?$

數列 $b_n$ 的生成函數 , 前 $l$ 項的系數都是 $0$ , 所以可以省略 ,

• 第 $l$ 項 , $B(x)$ 的生成函數項是 $a_0{x}^l$ , 對應的 $A(x)$ 中的生成函數項是 $a_0$
• 第 $l+1$ 項 , $B(x)$ 的生成函數項是 $a_1{x}^{l+1}$ , 對應的 $A(x)$ 中的生成函數項是 $a_{1}x$

$B(x)$ 生成函數 中每項只是在 數列 $a_n$ 的 生成函數 $A(x)$ 每項的基礎上 , 乘以 $x^l$ 即可 ;

二、生成函數移位性質 2 ( 向前移位 )

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生成函數移位性質 2 ( 向前移位 ) :

$b_n=a_{n+1}$ , 則 $B(x)=\frac{A(x)?\sum _{n=0}^{l?1}{a}_n{x}^n}{x^l}$

由 已知數列 $a_n$ 的 生成函數 $A(x)$ , 求 另外數列 $b_n$ 的 生成函數 $B(x)$ ;

已知數列 $a_n=\{a_0,a_1,?,a_n,?\}$ , 生成函數為 $A(x)$ ;

數列 $b_n$ 與 $a_n$ 的關系是 , $b_n$ 在 $a_n$ 的基礎上向后移動了 $l$ 位 , $b_0$ 與 $a_l$ 值相同 , $b_1$ 與 $a_{l+1}$ 值相同 ;

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,??????????????????

數列 $a_n$ : $a_0,a_1,?,a_l,a_{l+1}?$

數列 $b_n$ : $b_0,b_1,?$

根據 $A(x)$ 求 $B(x)$ :

在 $A(x)$ 的基礎上 , 減去前 $l$ 項 , 即 從 $0$ 到 $l?1$ 項 , $a_0,a_{1}x,a_2{x}^2,?a_{l?1}{x}^{l?1}$ , 因此有了 $A(x)?\sum _{n=0}^{l?1}{a}_n{x}^n$ ;

$A(x)$ 生成函數 的 剩余的項 , 每一項都比 $B(x)$ 多 $x^l$ 倍 , 除以 $x^l$ 即可 ;

在上述 $A(x)?\sum _{n=0}^{l?1}{a}_n{x}^n$ 基礎上 , 除以 $x^l$ , 得到 $B(x)=\frac{A(x)?\sum _{n=0}^{l?1}{a}_n{x}^n}{x^l}$ ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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