UA OPTI570 量子力學30 Degenerate Stationary Perturbation Theory簡介

• • 回顧：Nondegenerate Stationary Perturbation Theory
  • 例：用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory方法處理Degenerate Stationary Perturbation
  • Degenerate Stationary Perturbation Theory總結

回顧：Nondegenerate Stationary Perturbation Theory

上一講介紹了Nondegenerate Stationary Perturbation Theory，它的作用是近似計算復雜Hamitonian的特征方程。假設$\hat{H}=H_0+\lambda \hat{W}$，$\hat{W}$是一個已知的算符，$\lambda$是一個絕對值遠小于1的實數，$\lambda \hat{W}$被稱為small perturbation；$H_0$是一個已知的哈密頓量，特征方程為
$$H_0|{?}_n^i?=E_n^0|{?}_n^i?,i=1,?,g_n$$

定義$\hat{H}$的特征方程為
$$\hat{H}|{\psi }_{n,j}?=E_{n,j}|{\psi }_{n,j}?,j=1,?,g_n$$

假設$g_n=1$，稱這種Stationary Perturbation Theory為Nondegenerate Stationary Perturbation Theory，此時指標$i,j$可忽略，主要結論為
$$\begin{gathered} E_n\approx E_n^0+\lambda ?{?}_n|\hat{W}|{?}_n?+{\lambda }^2\sum _{p=n}\sum _{i=1}^{g_p}\frac{|?{?}_p^i|\hat{W}|{?}_n?{|}^2}{E_n^0?E_p^0} \\ |{\psi }_n?\approx |{?}_n?+\lambda \sum _{p=n}\sum _{i=1}^{g_p}\frac{?{?}_p^i|\hat{W}|{?}_n?}{E_n^0?E_p^0}|{?}_p^i? \end{gathered}$$

需要注意的是，雖然$H_0$與本征值$E_n^0$對應的本征態不存在degeneracy，但是它與其他本征值$E_p^0,p=n$對應的本征態可能存在degeneracy，上式中$g_p$就代表index of denegeracy。

例：用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory方法處理Degenerate Stationary Perturbation

Degenerate Stationary Perturbation Theory的思想就是用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory分別處理$i=1,?,g_n$的degeneracy，這里用一個例子說明Degenerate Stationary Perturbation Theory的思想。

考慮2-D isotropic Q.H.O.
$$H_0=\frac{P_x^2+P_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{w}^2(X^2+Y^2)$$

假設perturbation為
$$W=\lambda \hat{W}=\lambda m{w}^{2}XY$$

定義perturbed Hamitonian為$H=H_0+W$，雖然$H$的特征方程可以準確推導出來，但為了說明perturbation theory，我們嘗試用近似方法。

首先我們來明確一下每個算符的大小的階，$H_0$是量子諧振子的哈密頓量，它的scale自然是$?w$，位置算符$X,Y$的scale自然是quantum length scale $\sigma =\sqrt{\frac{?}{mw}}$，而$m{w}^2{\sigma }^2=?w$，所以$\hat{W}$的scale也是$?w$；

接下來我們選擇合適的表象，考慮哈密頓量的特征方程，最簡單的表象自然就是能量表象了，在能量表象中，$H_0$的特征方程為
$$H_0|n_x,n_y?=E_{n_x+n_y}^0|n_x,n_y?,E_{n_x+n_y}^0=?w(n_x+n_y+1)$$

能量表象下態空間的基為
$$\begin{gathered} \{|0,0?,|1,0?,|0,1?,|2,0?,|1,1?,|0,2?,?\} \\ =\{|{?}_0?,|{?}_1^1?,|{?}_1^2?,|{?}_2^1?,|{?}_2^2?,|{?}_2^3?,?\} \end{gathered}$$

其中$|{?}_0?$表示基態，$|{?}_j^{k_j}?$中的$j$表示2維量子諧振子第$j$激發態，$k_j$表示表示2維量子諧振子第$j$激發態中$X,Y$方向的激發狀態。在能量表象下，
$$\begin{gathered} H_0=?w?diag(1,2,2,3,3,3,?)=?w?\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & 2& & & & & \\ & & 2& & & & \\ & & & 3& & & \\ & & & & 3& & \\ & & & & & 3& \\ & & & & & & ?\end{array}? \\ \hat{W}=\frac{1}{2}?w(a_x^{?}{a}_y^{?}+a_x^{?}{a}_y+a_x{a}_y^{?}+a_x{a}_y) \\ =?w?\begin{array}{ccccccc}0& & & & 1& & \\ & 0& 1& & & & \\ & 1& 0& & & & \\ & & & 0& \sqrt{2}& 0& \\ 1& & & \sqrt{2}& 0& \sqrt{2}& \\ & & & 0& \sqrt{2}& 0& \\ & & & & & & ?\end{array}? \end{gathered}$$

從這兩個矩陣表示中，我們很容易就能看出分塊的模式的，$\hat{W}$第一塊就是0，對應基態下$\hat{W}$的矩陣表示，第二塊是$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，記為${\hat{W}}^{(1)}$，表示第一激發態對應的$\hat{W}$的矩陣表示，依次類推，第$n$個分塊矩陣記為${\hat{W}}^{(n)}$，表示第$n=n_x+n_y$個激發態下$\hat{W}$的矩陣表示。用類似的分塊方法也可以對$H_0$的矩陣表示做分塊，第$n$個分塊矩陣記為$H_0^{(n)}$，表示第$n$個激發態下$H_0$的矩陣表示。

進行分塊以后，在每個激發態下，我們都可以使用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory近似計算$H^{(n)}=H_0^{(n)}+{\hat{W}}^{(n)}$的特征方程。先計算基態的近似，
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{E}_0& =E_0^0+\lambda ?0,0|\hat{W}|0,0?+{\lambda }^2\sum _{p_x,p_y=0}\frac{|?p_x,p_y|\hat{W}|0,0?{|}^2}{E_0^0?(p_x+p_y+1)?w}\\ & =?w+0+\frac{(\frac{\lambda }{2}?w{)}^2}{?2?w}=?w\left(1?\frac{{\lambda }^2}{8}\right)\end{array} \\ \begin{array}{r}|{\psi }_0?=|0,0??\frac{\lambda }{4}|1,1?{?}_{Normalization}\frac{|0,0??\frac{\lambda }{4}|1,1?}{\sqrt{1+\frac{{\lambda }^2}{16}}}\end{array} \end{gathered}$$

然后計算第一激發態，第一激發態有兩種量子態，分別表示$X$激發與$Y$激發，所以對應兩種能量本征值，$E_{1,1},E_{1,2}$，它們等于$E_1^0$加上$W^{(1)}$的本征值，其中$W=\lambda ?w/2\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，本征值為$\pm \frac{\lambda ?w}{2}$，本征態為$\frac{|1,0?\pm |0,1?}{\sqrt{2}}$，所以
$$\begin{gathered} E_{1,1}=2?w?\frac{1}{2}\lambda ?w,|{\psi }_{1,1}?=\frac{|1,0??|0,1?}{\sqrt{2}} \\ {E}_{1,2}=2?w+\frac{1}{2}\lambda ?w,|{\psi }_{1,2}?=\frac{|1,0?+|0,1?}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

接下來是第二激發態，操作方法與計算第一激發態類似。

Degenerate Stationary Perturbation Theory總結

第一步：在確定了問題的Hamiltonian與perturbation后，在能量表象
$$\begin{gathered} \{|0,0?,|1,0?,|0,1?,|2,0?,|1,1?,|0,2?,?\} \\ =\{|{?}_0?,|{?}_1^1?,|{?}_1^2?,|{?}_2^1?,|{?}_2^2?,|{?}_2^3?,?\} \end{gathered}$$

下寫出Hamiltonian與perturbation的矩陣表示，并找出分塊的模式$H_0^{(n)}$與$W^{(n)}$；

第二步：用Stationary Perturbation Theory近似基態及其本征值，
$$\begin{gathered} E_0=E_0^0+\lambda ?0,0|\hat{W}|0,0?+{\lambda }^2\sum _{p_x,p_y=0}\frac{|?p_x,p_y|\hat{W}|0,0?{|}^2}{E_0^0?E_p^0} \\ |{\psi }_0?=|0,0??\lambda \sum _{p_x,p_y=0}\frac{?p_x,p_y|\hat{W}|0,0?}{E_0^0?E_p^0}|p_x,p_y? \end{gathered}$$

第三步：計算$W^{(n)}$的本征值與本征態，
$$W^{(n)}|v_{n,j}?={?}_{n,j}|v_{n,j}?$$

用下面的公式做近似$$\begin{gathered} E_{n,j}\approx E_n^0+{?}_{n,j} \\ |{\psi }_{n,j}?=|v_{n,j}? \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学30 Degenerate Stationary Perturbation Theory简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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