UA OPTI512R 傅立葉光學導論17 離散傅立葉變換簡介

• • DFT及其矩陣形式
  • DFT的性質

上一講提到對連續波形$f(x)$做周期性采樣時可以用采樣函數來表示采樣結果：
$$f_S(x)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }f(x_n)\delta (x?x_n),x_n=n\Delta$$

定義采樣頻率為${\xi }_S={\Delta }^{?1}$，假設$f(x)$的帶寬為$B$，記$B={\xi }_{Ny}$稱之為Nyquist frequency，Nyquist-Shannon采樣定理論述了如果$\Delta <B$或者說${\xi }_S>{\xi }_{Ny}$，則用采樣函數$f_S(x)$可以完整還原出波形$f(x)$。

采樣函數的Fourier變換為
$$F_S(\xi )={\int }_{?\infty }^{+\infty }\sum _{n=?\infty }^{+\infty }f(x_n)\delta (x?x_n)e^{?j2\pi x\xi }dx=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }f(n\Delta )e^{?j2\pi n\Delta \xi }$$

這個結果可以視為$f(x)$的某種變換的結果，因為它同時具備離散性（指變換具有級數的形式，并且變換的對象$\{f(n\Delta )\}$以及將其投影到的空間$\{e^{?j2\pi n\Delta \xi }\}$都是離散的）并且具有Fourier變換核（即$e^{?j2\pi (space?timevariable)(frequency)}$），所以稱這個變換為離散Fourier變換（Discrete Fourier Transform，DFT），下面我們嚴謹地討論離散傅立葉變換的定義與性質。

DFT及其矩陣形式

Space-limit Function
稱$f(x)$為space-limit function如果$f(x)=0,?x\in /[0,L)$。

DFT的含義
考慮Space-limit Function，將$[0,L)$均分為$N$份，每一份的長度為$L/N$，第$n$個小區間的左端點為$nL/N$，并以此作為采樣點，記對應的函數值為$f[n]=f(nL/N)$，根據Nyquist-Shannon采樣定理，當$\xi =n{\Delta }_{\xi }$時，要想重構出$F(\xi )$，需要
$$\frac{1}{{\Delta }_{\xi }}>Lor{\Delta }_{\xi }<1/L$$

基于這個原則我們可以選擇一個合適的${\Delta }_{\xi }$并計算采樣函數的Fourier變換，這里我們考慮極限情況，取${\Delta }_{\xi }=1/L$，則
$$\begin{array}{r}{F}_S(m{\Delta }_{\xi })=\sum _{n=0}^{N?1}f[n]e^{?j2\pi (nL/M)(m{\Delta }_{\xi })}=\sum _{n=0}^{N?1}f[n]e^{?j2\pi (nm/M)}\end{array}$$

記這個結果為$F[m]$，稱其為序列$\{f[n]\}$的離散Fourier變換，記為$DFT[f[n]]=F[m]$。它的逆變換是
$$f[n]=\frac{1}{N}\sum _{m=0}^{N?1}F[m]e^{j2\pi \frac{nm}{N}}$$

DFT的變換核
考慮下面的序列$${\psi }_k[n]=e^{j2\pi \frac{kn}{N}},n=0,1,?,N?1$$

它是DFT的變換核，具有一些有用的性質，比如序列${\psi }_k$與${\psi }_m$的內積為
$$\begin{array}{rl}{\psi }_k[n]?{\psi }_m[n]& =\sum _{n=0}^{N?1}{e}^{j2\pi \frac{kn}{N}}{e}^{?j2\pi \frac{mn}{N}}=\sum _{n=0}^{N?1}{e}^{j2\pi \frac{(k?m)n}{N}}\\ & =\frac{1?e^{j2\pi (k?m)}}{1?e^{j\frac{2\pi }{N}(k?m)}}=N{\delta }_{}km\end{array}$$

這說明不同下標的序列之間是正交的。

DFT的矩陣形式
現在把序列${\psi }_k[n]$用向量表示（${}^{?}$表示矩陣或向量的共軛轉置）
$${\psi }_k^{?}=[{\psi }_k(0),{\psi }_k(1),?,{\psi }_k(N?1)]$$

用這個向量構成矩陣$DFT$的第$k$行，即
$$DFT=?\begin{array}{c}{\psi }_0^{?}\\ {\psi }_1^{?}\\ ?\\ {\psi }_{N?1}^{?}\end{array}?$$

因為不同下標的序列之間是正交的，所以$DFT$是一個酉矩陣（實際上除于$N$才是）。用向量$f$表示離散信號，$F$表示它的離散Fourier變換
$$\begin{gathered} f=[f[0],f[1],?,f[N?1]] \\ F=[F[0],F[1],?,F[N?1]] \end{gathered}$$

則離散Fourier變換可以表示為
$$F=DFT?f$$

這是一個酉變換，它的逆變換為
$$f=\frac{1}{N}DF{T}^{?}?F$$

DFT的性質

線性性
$$DFT[\alpha f[n]+\beta g[n]]=\alpha DFT[f[n]]+\beta DFT[g[n]]$$

上面說了DFT是酉變換，所以線性性必然成立。

周期性

Shifting

Kronecker符號

總結

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