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UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 1 Drude-Lorentz模型

發布時間：2025/4/14 编程问答 31 豆豆

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UA OPTI501 電磁波 Lorentz Oscillator Model 1 Drude-Lorentz模型

- 分析偶極子的簡單彈簧模型
- 自由電子的Drude模型

Lorentz Oscillator Model是最早由荷蘭物理學家Lorentz提出的用于分析介質的電極化現象與外加電磁場之間關系的模型，這個模型的優點是簡單好懂而且使用于多種材料。這一章介紹這個模型的基本內容以及一些應用。

分析偶極子的簡單彈簧模型

簡單Mass-and-spring模型的思想是假設一個原子核（質量為 $M$ ，帶電量為 $+ q$ ）與一個電子（質量為 $m$ ，帶電量為 $? q$ ）之間通過彈簧相連，彈簧的勁度系數為 $α\alpha$ ，這個物理系統的動摩擦系數為 $β\beta$ ，存在振蕩變化的電場 $E(t)=Ex0cos?(wt)x^\textbf E(t)=E_{x0}\cos(wt)\hat x$ 。

用牛頓第二定律可以列出系統中電子的振動方程，
$mx¨=?qE?αx?βx˙m\ddot{x}=-qE-\alpha x-\beta \dot{x}$

引入兩個常數，
$w0=αm,γ=βmw_0=\sqrt{\frac{\alpha}{m}},\gamma = \frac{\beta}{m}$

勁度系數的單位是 $n e w t o n / m e t e r$ ，質量 $m$ 的單位是 $k g$ ，所以 $w_0$ 的單位為 $newtonkg?meter=kg?meter?s?2kg?meter=s?1\sqrt{\frac{newton}{kg*meter}}=\sqrt{\frac{kg*meter*s^{-2}}{kg*meter}}=s^{-1}$

這是角頻率的單位，因此通常稱 $w_0$ 為resonant frequency，即這個系統的共振頻率； $β\beta$ 的單位滿足
$[β]?(meter/s)=newton=kg?meter/s2[β]=kg/s[\beta]*(meter/s)=newton=kg*meter/s^2 \\ [\beta]=kg/s$

于是 $γ\gamma$ 的單位為 $kg*s^{-1}/kg=s^{-1}$ ，也與角頻率相同，稱 $γ\gamma$ 為系統的damping coefficient，阻尼系數。用這兩個常數簡化振動方程：
$x¨+γx˙+w02x=?qmE(t)\ddot{x}+\gamma \dot{x}+w_0^2 x=-\frac{q}{m}E(t)$

假這是一個非齊次常系數2階ODE，假設它的解為
$x(t)=Re[x0e?iwt],x0=∣x0∣ei?0x(t)=Re[x_0 e^{-iwt}],x_0=|x_0|e^{i\phi_0}$

代入振動方程，
$?w2x0?iwγx0+w02x0=?qmEx0x0=?qmEx0w02?w2?iγw-w^2 x_0-iw\gamma x_0+w_0^2x_0=-\frac{q}{m}E_{x0} \\ x_0 = \frac{-\frac{q}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}$

由此可以得到系統的電偶極矩為
$p=?qx(t)x^=Re[?qx0e?iwtx^]=Re[p0e?iwtx^]p0=q2mEx0w02?w2?iγw\textbf p=-qx(t) \hat x=Re[-qx_0e^{-iwt}\hat x]=Re[p_0e^{-iwt}\hat x] \\ p_0 = \frac{\frac{q^2}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}$

假設在一個小區域內有 $N$ 個這樣的電偶極矩，則這個小區域內的電極化矢量為
$P=Np=Re[Np0e?iwtx^]=Re[?0Ex0C(w)e?iwtx^]\textbf P = N\textbf p = Re[Np_0e^{-iwt}\hat x]=Re[\epsilon_0 E_{x0}C(w)e^{-iwt}\hat x]$

其中 $?0Ex0\epsilon_0E_{x0}$ 的量綱與電位移相同，所以 $C (w)$ 是一個無量綱的量，
$C(w)=Nq2m?0w02?w2?iγwC(w)=\frac{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}$

它被稱為polarizability coefficient，引入 $wq=Nq2m?0w_q=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}$ ，可以根據SI單位制與電磁學常用單位自行驗證它的單位也是 $s^{-1}$ ，與角頻率相同，稱 $w_p$ 為plasma frequency，電漿頻率，
$C(w)=wp2w02?w2?iγwC(w)=\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w}$

考慮更一般的monochromatic solution，
$E=Re[E(r)e?iwt]\textbf E=Re[\textbf E(\textbf r )e^{-iwt}]$

由此導出的介質的電極化矢量為
$P(r,t)=Re[?0E(r)C(w)e?iwt]\textbf P(\textbf r,t)=Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C(w)e^{-iwt}]$

評注上述推導討論的是一個原子核配一個電子的情況，將其簡單推廣就可以得到一個原子核配 $K$ 的電子的結果，
$CK(w)=∑k=1Kfkwp2w0k2?w2?iγkwC_K(w) = \sum_{k=1}^K \frac{f_k w_p^2}{w_{0k}^2-w^2-i\gamma_k w}$

其中 $f_k$ 是第 $k$ 個電子的oscillator strength，用 $C_K(w)$ 替換上述模型中的 $C (w)$ 即可，即
$P=Re[?0E(r)CK(w)e?iwtx^]\textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C_K(w)e^{-iwt}\hat x]$

自由電子的Drude模型

金屬與半導體中的電子并不是被固定的，在一定條件下可以自由移動，要讓Lorentz模型適用于這些電子，需要令 $α=0\alpha=0$ ， $w_{0k}=0$ ，即不存在使電子回到原位的彈性力，在這種情況下， $C_K(w)$ 的表達式所決定的系數不再被稱為polarizability coefficient，我們給它換個名字，稱為electric susceptibility，記為 $χe(w)\chi_e(w)$ ，
$χe(w)=?wp2w2+iγw\chi_e(w)=\frac{-w_p^2}{w^2+i\gamma w}$

雖然這只是Lorentz模型的特例，但因為這是Drude提出的關于conduction electron的模型，所以稱之為Drude模型，此時的電極化矢量為
$P=Re[?0E(r)χe(w)e?iwtx^]\textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)\chi_e(w)e^{-iwt}\hat x]$

當外加電場高頻振蕩時，即 $w>>γw>>\gamma$ 時， $χe(w)≈?wp2w2\chi_e(w) \approx -\frac{w_p^2}{w^2}$ ，這個系數被稱為plasma susceptibility，由此可以導出plasma relative electric permittivity為
$?r(w)=1+χe(w)=1?wp2w2\epsilon_r(w)=1+\chi_e(w)=1-\frac{w_p^2}{w^2}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 1 Drude-Lorentz模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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