初等數學O 集合論基礎 第六節 商集

這一講延續第四講對等價關系與等價的討論，引入商集這個概念。

定義0.22 假設$～$是非空集合$X$上的一個等價關系，稱$X/～$是$X$基于等價關系$～$定義的商集，它的元素是$X$關于$～$的所有等價類。

根據這個定義，商集其實是一個集列，它的每個元素都是等價類。

評注0.8
商集中的元素具有下面幾個特點：

$X/～=?$

$?A\in X/～$, $A=?$

$?A,B\in X/～,A=B?A\cap B=?$

事實上，根據商集的定義，我們可以得到下面的結論：
$$X=\underset{A\in X/～}{?}A$$

根據選擇公理，$X$非空，說明至少有一個$A\in X/～$非空，因此$X/～$非空，第二條與第三條可以直接由等價類的定義獲得。

定義0.23 根據選擇公理，在每個$A\in X/～$，我們至少可以選出一個元素，稱這個元素為等價類$A$的代表元，這些代表元組成了商集的代表集，記為$M$，則
$$X=\underset{A\in X/～}{?}A=\underset{m\in M}{?}[m]$$

例0.10
i）記$=$為恒等關系，則
$$X/==\{\{x\}:x\in X\}$$

因此$M=X$。

ii）記$X\times X$為全域關系，則
$$X/(X\times X)=\{X\}$$

例0.11 例0.9中我們討論了基于同余定義的等價類，考慮整數集$\mathbb{Z}$，假設等價關系$～$表示關于3的余數相同，
$$\begin{gathered} [0]=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=3n\} \\ [1]=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=3n+1\} \\ [2]=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=3n+2\} \end{gathered}$$

根據定理0.9，
$$\mathbb{Z}=[0]?[1]?[2]$$

因此商集為
$$\mathbb{Z}/～=\{[0],[1],[2]\}$$

我們可以選擇代表集$M=\{0,1,2\}$。

在這里例子中，商集的商與數的除法就有點關系了，首先商集的代表集是被3除所得的可能的余數，商集本身是由三個集合構成的集列，這三個集合分別表示被3整除、被3除余1、被3除余2的整數。

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下面我們討論更有趣的問題，假設非空集合$X$上有兩個等價關系，分別表示為$P$, $Q$，根據二元關系的含義，$P,Q$都是$X\times X$的子集。接下來我們討論下面的問題：

問題1：$P\cap Q$是等價關系嗎？$P\cup Q$與$P?Q$呢？
問題2：如果它們是等價關系，它們的商集與$X/P$和$X/Q$有什么聯系？

定理0.10 非空集合$X$上有兩個等價關系，分別表示為$P$, $Q$，則$P\cap Q$也是等價關系。

證明
i）自反性：因為$(x,x)\in P,(x,x)\in Q,?x\in X$, 所以$(x,x)\in P\cap Q$
ii）對稱性：如果$(x,y)\in P\cap Q$, 則$(y,x)\in P,(y,x)\in Q$，所以$(y,x)\in P\cap Q$
iii）傳遞性：如果$(x,y),(y,z)\in P\cap Q$, 則$(x,z)\in P$并且$(x,z)\in Q$，所以$(x,z)\in P\cap Q$

問題1剩下半個問題留給讀者思考。

定理0.11 假設$M_P,M_Q$分別是商集$X/P$與$X/Q$的代表集，則
$$X/(P\cap Q)=\{[a]\cap [b]:a\in M_P,b\in M_Q\}$$

這個定理的證明比較麻煩，我們就不在這個敘述了，但可以用一個例子來理解這個定理想要表達的內容。

例0.12
考慮整數集$\mathbb{Z}$，假設等價關系$P$表示關于3的余數相同，
$$\begin{gathered} [0{]}_P=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=3n\} \\ [1{]}_P=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=3n+1\} \\ [2{]}_P=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=3n+2\} \end{gathered}$$

假設等價關系$Q$表示關于4的余數相同，
$$\begin{gathered} [0{]}_Q=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=4n\} \\ [1{]}_Q=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=4n+1\} \\ [2{]}_Q=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=4n+2\} \\ [3{]}_Q=\{z\in \mathbb{Z}:?n\in \mathbb{Z},z=4n+3\} \end{gathered}$$

則
$$\mathbb{Z}=[0{]}_P?[1{]}_P?[2{]}_P=[0{]}_Q?[1{]}_Q?[2{]}_Q?[3{]}_Q$$

取$M_P=\{0,1,2\}$, $M_Q=\{0,1,2,3\}$，則根據定理0.11，
$$\mathbb{Z}/(P\cap Q)=\{[i{]}_P\cap [j{]}_Q:i\in \{0,1,2\},j\in \{0,1,2,3\}\}$$

也就是說這個商集一共有12類集合：

$[0{]}_P\cap [0{]}_Q$: 同時被3和4整除的整數；

$[0{]}_P\cap [1{]}_Q$: 被3整除，且被4除余1的整數；

$[0{]}_P\cap [2{]}_Q$: 被3整除，且被4除余2的整數；

$[0{]}_P\cap [3{]}_Q$: 被3整除，且被4除余3的整數；

$[1{]}_P\cap [0{]}_Q$: 被3除余1，且被4整除的整數；

$[1{]}_P\cap [1{]}_Q$: 被3除余1，且被4除余1的整數；

$[1{]}_P\cap [2{]}_Q$: 被3除余1，且被4除余2的整數；

$[1{]}_P\cap [3{]}_Q$: 被3除余1，且被4除余3的整數；

$[2{]}_P\cap [0{]}_Q$: 被3除余2，且被4整除的整數；

$[2{]}_P\cap [1{]}_Q$: 被3除余2，且被4除余1的整數；

$[2{]}_P\cap [2{]}_Q$: 被3除余2，且被4除余2的整數；

$[2{]}_P\cap [3{]}_Q$: 被3除余2，且被4除余3的整數；

在我們之后討論到整數部分的時候，會介紹不定方程，也就是有一個或者幾個變量的整系數方程，它們的求解僅僅在整數范圍內進行。顯然商集$\mathbb{Z}/(P\cap Q)$中每一個元素都可以表示一個不定方程，考慮$[i{]}_P\cap [j{]}_Q$，它意味著$?x\in [i{]}_P\cap [j{]}_Q$滿足$?n,m\in \mathbb{Z}$
$$x=3n+i=4m+j$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数学O 集合论基础 第六节 商集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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