UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步8 鞅收斂定理

上一講我們定義了停時，并引入了鞅收斂定理，這一講我們完成鞅收斂定理的證明，并完成上一講的例題。

鞅收斂定理 假設$\{X_n\}$是一個$\{{\mathcal{F}}_n\}$上的submartingale，且滿足${\sup }_{n}E{X}_n^{+}<\infty$，則$X_n\to X,a.s$，并且$E|X|<\infty$。

推論 如果$X_n$是一個非負supermartingale，則$X_n\to X$ a.s. 并且$EX\le E{X}_0$。

證明

第一部分：我們先假設鞅收斂定理成立，然后論述推論。

如果$X_n$是一個非負supermartingale，則$?X_n$是一個submartingale，并且因為$X_n\ge 0$, 則$(?X_n{)}^{+}=0$，所以${\sup }_{n}E[(?X_n{)}^{+}]=0<\infty$, 根據鞅收斂定理，$?X_n\to Y$ a.s., $?Y$ such that $E|X|<\infty$。根據supermartingale的性質，
$$E[X_0]\ge E[X_n],?n$$

因此根據Fatou引理
$$E[X_0]\ge \mathrm{liminf}E[X_n]\ge E[\mathrm{liminf}{X}_n]=E[\lim X_n]=E[X]$$

第二部分：證明鞅收斂定理中幾乎必然收斂的部分。

先回顧一下證明過程中需要的結果
Doob’s inequality (Upcrossing Inequality) 假設$\{X_n\}$是一個$\{{\mathcal{F}}_n\}$上的submartingale，$a<b$，$N_0=?1$,
$$\begin{gathered} N_1=\inf \{m>N_0:X_m\le a\} \\ {N}_2=\inf \{m>N_1:X_m\ge b\} \\ ? \\ {N}_{2k?1}=\inf \{m>N_{2k?2}:X_m\le a\} \\ {N}_{2k}=\inf \{m\ge N_{2k?1}:X_m\ge b\} \end{gathered}$$

定義
$$U_n=\sup \{k:N_{2k}\le n\}$$

則
$$(b?a)E{U}_n\le E[(X_n?a{)}^{+}]?E[(X_0?a{)}^{+}]$$

下面我們來證明鞅收斂定理。為了使用Upcrossing，我們需要構造一些結構：

$$\begin{gathered} \{w:\mathrm{liminf}{X}_n(w)<\mathrm{limsup}{X}_n(w)\} \\ =\underset{a<b}{?}\{w:\mathrm{liminf}{X}_n(w)<a<b<\mathrm{limsup}{X}_n(w)\} \end{gathered}$$

其中$\{w:\mathrm{liminf}{X}_n(w)<a<b<\mathrm{limsup}{X}_n(w)\}$表示的事件是$X_n$從$a$以下穿過到$b$以上無數次的事件的子集。

然后我們再分析一下Upcorssing不等式，
$$\begin{gathered} (b?a)E{U}_n\le E[(X_n?a{)}^{+}]?E[(X_0?a{)}^{+}] \\ ?E{U}_n\le \frac{E[(X_n?a{)}^{+}]?E[(X_0?a{)}^{+}]}{b?a} \\ ?E{U}_n\le \frac{E[(X_n?a{)}^{+}]}{b?a}\le \frac{E[X_n{]}^{+}+|a|}{b?a} \end{gathered}$$

根據$U_n$的定義，$U_n\uparrow U$，這里$U$表示整個序列的upcrossing的次數。根據控制收斂定理，
$$E{U}_n\uparrow EU\le \frac{{\sup }_{n}E[X_n{]}^{+}+|a|}{b?a}$$

我們假設了${\sup }_{n}E{X}_n^{+}<\infty$，因此$EU<\infty ,a.s.$。我們可以進一步得到（可以用反證法驗證）
$$P(\{w:\mathrm{liminf}{X}_n(w)<a<b<\mathrm{limsup}{X}_n(w)\})=0$$

因此
$$P(\mathrm{liminf}{X}_n(w)=\mathrm{limsup}{X}_n(w))=1$$

所以$X_n\to X$ a.s.，這里$X$是某個隨機變量。

第三部分：證明極限可積，$E|X|<\infty$。

根據Fatou引理，
$$E{X}^{+}\le \mathrm{liminf}E{X}_n^{+}\le \underset{n}{\sup }E{X}_n^{+}<\infty$$

因為$E{X}_n^{?}=E{X}_n^{+}?E{X}_n\le E{X}_n^{+}?E{X}_0$，根據Fatou引理，
$$E{X}^{?}\le \mathrm{liminf}E{X}_n^{?}\le \underset{n}{\sup }E{X}_n^{+}+E{X}_0<\infty$$

因此$E|X|=E{X}^{+}+E{X}^{?}<\infty$。

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例 Branching Process
假設${\xi }_{ij}$是互相獨立的取值為自然數的隨機變量，$P({\xi }_{ij}=k)=p_k,?k\ge 0$，記$m={\sum }_{k\ge 0}k{p}_k$，定義$$X_n=\sum _{i=1}^{X_{n?1}}{\xi }_{in},X_0=a$$

在這個設定中，我們可以把${\xi }_{ij}$的下標$i$理解為第$i$戶，$j$理解為第$j$代，${\xi }_{ij}$表示第$i$戶、第$j$代有幾個娃，則$X_n$的含義可以是某家族第$n$代的總人口數，$m$表示平均每一代每一戶有幾個娃。

問題1：第$n$代平均有多少人？
$$E[X_n]=E\left[\sum _{i=1}^{X_{n?1}}{\xi }_{in}\right]=E\left[E\left[\sum _{i=1}^{X_{n?1}}{\xi }_{in}|X_{n?1}\right]\right]=E[m{X}_{n?1}]$$

于是我們有了一個遞推式：
$$E[X_n]=mE[X_{n?1}]$$

所以
$$E[X_n]=a{m}^n$$

這個結果能給我們下面幾條啟發：

在這個模型下，如果$m<1$，這個家族第$n$代期望人口歸零，當$n$足夠大的時候；

如果$m>1$，這個家族期望人口將指數增長；

如果$m=1$，這個家族期望人口保持不變

問題2：$X_n$是鞅嗎？
定義$Z_n=X_n/m^n$，${\mathcal{F}}_n=\sigma \{{\xi }_{ij}:j\le n\}$，則$(Z_n,{\mathcal{F}}_n)$是一個鞅，因為
$$E[Z_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]=E\left[\sum _{i=1}^{X_n}{\xi }_{i,n+1}/m^n|{\mathcal{F}}_n\right]=\frac{m{X}_n}{m^{n+1}}=Z_n$$

根據鞅收斂定理，$?W\ge 0,a.s.$，$W$可積，并且
$$Z_n\to W$$

問題3：論述$m<1$時這個家族消亡的概率為1
根據Markov不等式，
$$P(X_n\ge 1)\le E{X}_n=a{m}^n$$

因此，根據Borel-Cantelli引理，
$$\begin{gathered} P(X_n\ge 1i.o.)=0 \\ ?P(X_n=0e.v.)=1 \end{gathered}$$

總結

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