精算模型1 一元生存分析3 條件概率與截尾分布

• • 條件生存概率
  • 截尾分布
  • 中心死亡率

這一講介紹條件生存函數(shù)與截尾分布，主要需要的概念是條件概率，這一講提到的方法將在壽險精算數(shù)學與非壽險精算在保費厘定與調(diào)整等章節(jié)起到很大作用。

條件生存概率

定義1 條件生存概率與條件死亡概率。
記個體$(x)$在$n$年后仍然存活的概率為$p_x(n)$ (一般參考書把$n$寫成左下標，但我不知道怎么輸入)，
$$p_x(n)=\frac{P(T>x+n)}{P(T>x)}=\frac{S(x+n)}{S(x)}$$

記個體$(x)$在$n$年內(nèi)死亡的概率為$q_x(n)$，
$$q_x(n)=1?p_x(n)=\frac{P(x<T\le x+n)}{P(T>x)}=\frac{S(x)?S(x+n)}{S(x)}$$

例1 計算上一講介紹的均勻分布、指數(shù)分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布剩余壽命下的條件生存概率與條件死亡概率。

截尾分布

定義2 左截尾（Left-truncated）分布
稱$T|T>y$的分布為左截尾分布，它表示$y$歲的個體剩余壽命的分布：

生存函數(shù) $$P(T>x|T>y)=\frac{P(T>\max (x,y))}{P(T>y)}=\frac{S(\max (x,y))}{S(y)}$$考慮左截尾時，一般直接假設(shè)$x\ge y$，因此生存函數(shù)為$S(x)/S(y)$，記為$S(x|T>y)$，值得注意的是，如果取$x=y+n$，則生存函數(shù)為$S(y+n)/S(y)=p_y(n)$正好就是條件生存概率。

分布函數(shù) $$P(T\le x|T>y)=\frac{P(y<T\le x)}{P(T>y)}=\frac{F(x)?F(y)}{1?F(y)}$$記為$F_T(x|T>y)$。

概率密度 $$f_T(x|T>y)=\frac{f(x)}{S(y)}$$

死亡率 $$h(x|T>y)=\frac{f_T(x|T>y)}{S(x|T>y)}=h(x)$$

例2 計算均勻分布、指數(shù)分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下剩余壽命的左截尾分布。

定義3 雙截尾（Two-sided truncated）分布
稱$T|y<T\le z$的分布為雙截尾分布，它表示$y$歲的個體在接下來的$z$年內(nèi)剩余壽命的分布：

生存函數(shù)$$S(x|y<T\le z)=\frac{P(y<T<x)}{P(y<T\le z)}=\frac{S(y)?S(x)}{S(y)?S(z)}$$

分布函數(shù) $$F_T(x|y<T\le z)=\frac{F(x)?F(y)}{F(z)?F(z)}$$

概率密度 $$f_T(x|y<x\le z)=\frac{f(x)}{S(y)?S(z)}$$

死亡率 $$h(x|y<T\le z)=\frac{f(x)}{S(x)?S(z)}$$

例3 計算均勻分布、指數(shù)分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下剩余壽命的雙截尾分布。

例4 計算均勻分布、指數(shù)分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下剩余壽命的雙截尾分布的期望與方差。

中心死亡率

定義4 中心死亡率。
中心死亡率衡量一段年齡區(qū)間$[x,x+n]$內(nèi)危險率函數(shù)按生存概率的加權(quán)平均，用符號$m_x(n)$表示，
$$m_x(n)=\frac{{\int }_x^{x+n}S(t)h(t)dt}{{\int }_x^{x+n}S(t)dt}$$

根據(jù)危險率函數(shù)的定義，
$$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$$

分子上的積分可以寫為
$${\int }_x^{x+n}S(t)h(t)dt={\int }_x^{x+n}f(t)dt=P(x<T\le x+n)$$

也就是在年齡區(qū)間$[x,x+n]$內(nèi)死亡的概率。根據(jù)生存函數(shù)的性質(zhì)4，分母上的積分表示在年齡區(qū)間$[x,x+n]$內(nèi)存活時間的期望，因此$m_x(n)$表示在年齡區(qū)間$[x,x+n]$平均每段存活時間死亡的概率。

例5 計算均勻分布、指數(shù)分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下在年齡區(qū)間$[x,x+n]$內(nèi)的中心死亡率。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的精算模型1 一元生存分析3 条件概率与截尾分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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