矩陣分析與多元統計II 二次型與二次曲面3 二次型及其標準形的定義

上一講我們討論了二次齊次函數、對稱雙線性函數之間的一一對應關系，這一講我們從多項式的角度討論二次齊次函數，給出二次型的概念及其標準形；下一講介紹計算二次型的標準形的方法；下下講介紹二次型的規范形；下下下講介紹正定二次型；然后分別介紹二次型在分析中的應用、在解析幾何中的應用。

定義1 $V$是數域$F$上的線性空間，$?x=(x_1,?,x_n{)}^{\prime }\in V$, 稱二次齊次多項式
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}{x}_i^2+2\sum _{i<j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

為$F$上的一個$n$元二次型。當$i<j$時，
$$2a_{ij}{x}_i{x}_j=a_{ij}{x}_i{x}_j+a_{ij}{x}_j{x}_i$$

令$a_{ij}=a_{ji}$，
$$f(x)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{\prime }Ax$$

其中$A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$是一個對稱矩陣，稱$A$為二次型的矩陣。

定義2 假設$?C$, $x=Cy$，則稱$y$是$x$的一組線性替換，如果$\det C=0$，就稱這個線性替換是非退化的。

定理1
1）假設$f(x),g(y)$是兩個二次型，存在非退化的線性替換使得$f(x)=g(y)$的充要條件是它們的矩陣合同；
2）對任意二次型$f(x)$，存在非退化的線性替換使得
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{d}_i{y}_i^2$$

定義3 稱上式為二次型的標準形。下一講介紹計算標準形的方法，這一講剩余內容討論定理1的證明。

證明定理1
記$A,B$為$f(x),g(y)$的矩陣。

評注1 矩陣的合同，假設$A,B$合同，則存在可逆矩陣$C$使得
$$C^{\prime }AC=B$$

記為$A?B$，可以驗證合同關系是一種等價關系。

證明1)
必要性：假設存在非退化的線性替換$x=Cy$，則
$$f(x)=x^{\prime }Ax=(Cy{)}^{\prime }A(Cy)=y^{\prime }(C^{\prime }AC)y=y^{\prime }By=g(y)$$

因此$A?B$；

充分性：假設$A?B$，存在可逆矩陣$C$，使得$C^{\prime }AC=B$，從而
$$g(y)=y^{\prime }By=y^{\prime }{C}^{\prime }ACy=(Cy{)}^{\prime }A(Cy)=x^{\prime }Ax=f(x)$$

如果$x=Cy$，顯然$f(x)=g(y)$。

證明2) 根據下面的引理，結合1）可以得出2）成立。
引理 對稱矩陣與(唯一的)對角矩陣合同。我們簡單證明一下這個引理。
根據譜定理（討論矩陣分解時介紹，這是譜分解的基礎），對任意Hermite矩陣$A$，存在由它的特征向量組成的標準正交基$V$，以及代數重數為1的實特征值，記$\Lambda$為一個對角陣，對角元為$A$的特征值，則
$$V^{?1}AV=\Lambda =V^{\prime }AV$$

因此$A$與(唯一)對角陣合同。

總結

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