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UA MATH563 概率论的数学基础2 随机变量1 随机变量与分布函数

發布時間：2025/4/14 编程问答 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA MATH563 概率论的数学基础2 随机变量1 随机变量与分布函数小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA MATH563 概率論的數學基礎2 隨機變量1 隨機變量與分布函數

判斷一個實變函數是隨機變量
分布函數的性質
- Lebesgue-Stieltjes測度下的分布函數

現在我們考慮狀態空間 $(Ω,F)(\Omega,\mathcal{F})$ ，假設 $ξ\xi$ 是定義在狀態空間上的實函數，即 $ξ:(Ω,F)→(R,B(R))\xi:(\Omega,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 。

隨機變量 或稱為 $F\mathcal{F}$ 可測函數，如果 $?B∈B(R)\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ , $ξ?1(B)∈F\xi^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ 。如果 $F\mathcal{F}$ 是Borel代數，也稱 $ξ\xi$ 為Borel可測函數。如果 $Ω\Omega$ 有限，稱 $ξ\xi$ 為簡單隨機變量；如果 $Ω\Omega$ 可列，稱 $ξ\xi$ 為離散型隨機變量。

評注基礎1中我們花了很多精力構造 $σ\sigma$ -代數，是因為它包含所有可測的事件，因此隨機變量的定義保證我們能夠根據概率測度定義它的分布。

事件的概率 假設狀態空間是一個概率空間，概率為 $P$ ，則事件 $ξ∈B(R)\xi \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 的概率就是
$Pξ(B)=P(ξ?1(B))P_{\xi}(B) = P(\xi^{-1}(B))$

分布函數 考慮 $B=(∞,x]B=(\infty,x]$ ，記此時的事件概率為分布函數
$Fξ(x)=P(ξ?1((?∞,x]))F_{\xi}(x)=P(\xi^{-1}((-\infty,x]))$

如果分布函數連續，稱 $ξ\xi$ 為連續型隨機變量；如果分布函數可導，即 $?fξ(x)=Fξ′(x)\exists f_{\xi}(x)=F_{\xi}'(x)$ ，稱 $fξf_{\xi}$ 為概率密度。

判斷一個實變函數是隨機變量

要判斷一個實變函數是不是隨機變量，根據定義肯定是做不到的，我們不可能檢查 $B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 中的每一個集合，下面這個引理可以減少需要檢查的集合數目：

引理假設 $C\mathcal{C}$ 是一個集族， $σ(C)=B(R)\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ，如果 $?C∈C,ξ?1(C)∈F\forall C \in \mathcal{C}, \xi^{-1}(C) \in \mathcal{F}$ ，則 $ξ\xi$ 是 $F\mathcal{F}$ -可測的。

這是實分析中的結論，我們直接用就不再證明了。根據這個引理，我們只需要檢查一個能生成Borel代數的集族即可。構造 $C={(∞,x]:x∈R}\mathcal{C}=\{(\infty,x]:x \in \mathcal{R}\}$ ，則 $σ(C)=B(R)\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ，因此只要 $ξ?1((?∞,x])∈F\xi^{-1}((-\infty,x])\in\mathcal{F}$ ， $ξ\xi$ 就是隨機變量。實際上 $ξ?1((?∞,x))∈F\xi^{-1}((-\infty,x))\in\mathcal{F}$ 也可以。

除了按定義判斷隨機變量的方法之外，還可以基于已知的隨機變量進行判斷：

引理假設 $ψ\psi$ 是Borel函數， $ξ\xi$ 是隨機變量，則 $η=ψ(ξ)\eta=\psi(\xi)$ 是隨機變量。
證明根據定義進行判斷， $?B∈B(R)\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ，
$η?1(B)=[ψ(ξ)]?1(B)=ξ?1(ψ?1(B))∈F\eta^{-1}(B)=[\psi(\xi)]^{-1}(B) = \xi^{-1}(\psi^{-1}(B)) \in \mathcal{F}$

分布函數的性質

基于上文分布函數的定義：
$Fξ(x)=P(ξ?1((?∞,x]))F_{\xi}(x)=P(\xi^{-1}((-\infty,x]))$

分布函數具有下面的性質：

Fξ(x)F_{\xi}(x)

非減；

Fξ(?∞)=0,Fξ(+∞)=1F_{\xi}(-\infty)=0, F_{\xi}(+\infty)=1

Fξ(x)F_{\xi}(x)

右連續；

證明
性質1非常簡單，基于概率的單調性即可以得出，如果 $\le y$ ，有 $(?∞,x]?(?∞,y]?ξ?1((?∞,x])?ξ?1((?∞,y])(-\infty,x]\subset (-\infty,y] \Rightarrow \xi^{-1}((-\infty,x])\subset \xi^{-1}((-\infty,y])$ ，則 $P(ξ?1(?∞,x])≤P(ξ?1(?∞,y])P(\xi^{-1}(-\infty,x])\le P(\xi^{-1}(-\infty,y])$ ，即 $\le F(y)$ ；

性質2也非常簡單，取 $an↓?∞a_n \downarrow -\infty$ ，則 $Fξ(?∞)=lim?nFξ(an)=lim?nP(ξ?1(?∞,an])=P(ξ?1(lim?n(?∞,an]))=0F_{\xi}(-\infty)=\lim_nF_{\xi}(a_n) = \lim_n P(\xi^{-1}(-\infty,a_n]) = P(\xi^{-1}(\lim_n (-\infty,a_n]))=0$ ；

性質3也比較簡單，取 $bn↑xb_n \uparrow x$ ， $lim?nFξ(bn)=lim?nP(ξ?1(?∞,bn])=P(ξ?1(?n(?∞,bn]))=P(ξ?1(?∞,x])=Fξ(x)\lim_n F_{\xi}(b_n)=\lim_nP(\xi^{-1}(-\infty,b_n]) = P(\xi^{-1}(\bigcup_n(-\infty,b_n]))=P(\xi^{-1}(-\infty,x])=F_{\xi}(x)$

Lebesgue-Stieltjes測度下的分布函數

概率空間4中討論了Lebesgue-Stieltjes測度，假設函數 $F:R→RF:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 滿足

F (x)

非減；

F(?∞)=0,F(+∞)=1F(-\infty)=0,\ F(+\infty)=1

；

?x∈R\forall x \in \mathbb{R}

，

F

在

x

處右連續且存在左極限；

對于區間 $(a, b]$ ，定義測量區間長度的函數：
$λ((a,b])=F(b)?F(a)\lambda((a,b])=F(b)-F(a)$

由此可以在可測空間 $(R,B(R))(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 上建立外測度，用 $E$ 表示前開后閉區間：
$μ?(A)=inf?{∑n=1∞λ(En):A??n=1∞En}\mu^*(A)=\inf\{\sum_{n=1}^{\infty} \lambda(E_n):A \subset \bigsqcup_{n=1}^{\infty}E_n\}$

基于這個外測度導出的L-S測度通常來作為 $(R,B(R))(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 上的概率測度，那么基于這個概率測度定義的分布函數與L-S定義中的分布函數會有什么關系嗎？

考慮概率空間 $(R,H(R?),μ?)(\mathbb{R},H(R^*),\mu^*)$ ，假設 $ξ:(R,H(R?),μ?)→(R,B(R))\xi:(\mathbb{R},H(R^*),\mu^*) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ，定義 $ξ\xi$ 的分布函數為 $Fξ(x)=μ?(ξ?1((?∞,x]))F_{\xi}(x)=\mu^*(\xi^{-1}((-\infty,x]))$ 。根據L-S測度的定義 $?Eσ,σ∈I\exists E_{\sigma},\sigma \in I$ , $Eσ=(aα,bσ]E_{\sigma}=(a_{\alpha},b_{\sigma}]$
$Fξ(x)=μ?(?σ∈IEσ)=∑σ∈I[F(bσ)?F(aσ)]F_{\xi}(x)=\mu^*(\bigcup_{\sigma \in I}E_{\sigma}) = \sum_{\sigma\in I} [F(b_{\sigma})-F(a_{\sigma})]$

其中
$ξ?1((?∞,x])??σ∈IEσ\xi^{-1}((-\infty,x]) \subset \bigcup_{\sigma \in I}E_{\sigma}$

由此可以看出， $FξF_{\xi}$ 主要是由L-S測度的分布函數與 $ξ\xi$ 的構造決定的。

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總結

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