UA MATH523A 實分析1 集合論基礎7 度量空間

• • • 內部、邊界、閉包
    • 收斂與連續性
    • 完備性
    • 緊性

稱$(X,\rho )$為度量空間（Metric Space），$\rho :X\times X\to [0,\infty )$為度量，如果

$\rho (x,y)=0$ iff $x=y$

$?x,y\in X$,$\rho (x,y)=\rho (y,x)$

$?x,y,z\in X$, $\rho (x,z)\le \rho (x,y)+\rho (y,z)$

假設$(X,{\rho }_1)$與$(Y,{\rho }_2)$是兩個度量空間，考慮它們的乘積$X\times Y$，可以定義$\rho ({\rho }_1,{\rho }_2)$作為乘積空間的度量。比如
$$\rho ((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max \{{\rho }_1(x_1,x_2),{\rho }_2(y_1,y_2)\}$$

在度量空間上，我們也可以定義上一講中在拓撲空間中定義的所有概念，所以很多實分析的問題都是可以分別從分析或者拓撲的角度去理解的。

定義$B(r,x)$表示$X$中以$x$為圓心，$r$為半徑的開球，即
$$B(r,x)=\{z\in X:\rho (x,z)<r\}$$

對于$A?X$，如果$?x\in A,?r>0$, $B(r,x)?A$，則稱$A$是開集。

內部、邊界、閉包

內點：$?x\in X$, 如果$?r>0$, $B(r,x)?A$，則$x$是$A$的內點；
外點：$?x\in X$, 如果$?r>0$, $B(r,x)?A^C$，則$x$是$A$的外點；
邊界點：$?x\in X$, 如果$?r>0$, $B(r,x)\cap A=?$, $B(r,x)\cap A^C=?$，則$x$是$A$的邊界點；

內部 $?A?X$, $A$的內部表示$A$包含的最大的開集，或者$A$的所有內點構成的集合，記為$int(A)$
邊界 $A$的所有邊界點的集合，記為$?A$
閉包 $A$的內部與邊界點的集合，記為$\bar{A}$，表示包含$A$的最小閉集

這里的定義和點集拓撲的相比只是把鄰域換成了開球。

稠密(dense) 稱$A$在$X$中是稠密集如果$\bar{A}=X$，如果$int(\bar{A})=?$就稱$A$ nowhere dense。

可分（Separable）稱$A$可分如果$A$有稠密子集；

收斂與連續性

點列收斂 $\{x_n\}?X$, ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x\in X?{\lim }_{n\to \infty }\rho (x,x_n)=0$

閉集的等價敘述 度量空間$(X,\rho )$上，$A?X$，$x\in X$，下面的敘述等價：

$x\in \bar{A}$

$?r>0$, $B(r,x)\cap A=?$

$?\{x_n\}?X$, $x_n\to x$

連續性 (Pointwise) $f:(X_1,{\rho }_1)\to (X_2,{\rho }_2)$在$x$上連續，如果$??>0$, $?{\delta }_{x,?}>0$, $B({\delta }_{x,?},x)?f^{?1}(B(?,f(x)))$。

一致連續 (uniformly continuous) $f:(X_1,{\rho }_1)\to (X_2,{\rho }_2)$一致連續，如果$?x\in X_1,?>0$, $?\delta >0$, $B(\delta ,x)?f^{?1}(B(?,f(x)))$。

拓撲中的連續性定義也可以作為判斷映射連續的方法：$f$連續等價于$?U\in X_2$，$U$為開集，則$f^{?1}(U)$也是$X_1$中的開集。

完備性

Cauchy $\{x_n\}?X$ is Cauchy if $?n,m\ge N$, $?N\in \mathbb{N}$，$\rho (x_n,x_m)<?,??>0$

完備 (complete) 稱$A?X$完備，如果$A$中的Cauchy列收斂到$A$中的點

閉集的完備性 完備度量空間中的閉集完備；任意度量空間中的完備子集是閉集。這個性質說明完備度量空間中的柯西序列收斂到閉集中。

有界性(bounded) 集合的直徑為$diamE=\sup \{\rho (x,y):x,y\in E\}$，如果$diamE<\infty$，稱$E$有界

Totally Bounded $??>0$, $\{z_i{\}}_{i=1}^n?X$, $A?{?}_{i=1}^{n}B(?,z_i)$，稱$A$total bounded

緊性

緊集 假設$A?X$, $A$完備且total bounded，則$A$為緊集（compact set），關于緊集有下列等價性敘述：

Bolzano-Weierstrass定理：$A$中的任意點列存在一個極限在$A$中的收斂子列；

Heine-Borel定理：$A$的任何開覆蓋都有有限子覆蓋

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析1 集合论基础7 一些度量空间基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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