UA MATH564 概率論VI 數理統計基礎3 卡方分布上

• 卡方分布
• • 卡方分布的分布函數
  • • 中心化卡方分布
    • 一般的卡方分布

卡方分布

這里給出卡方分布的一般性定義。假設$X_1,?,X_n$互相獨立，并且$X_i～N(a_i,1)$，則稱
$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2～{\chi }^2(n,\delta )$$
其中$n$代表樣本數，$\delta$是非中心化參數
$$\delta =\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$$
如果樣本來自標準正態總體，則$\delta =0$，稱之為中心化的卡方分布。這個定義不是很嚴謹，因為從統計量的構造來看它的分布應該是和$a_i$以及$n$有關，所以要讓記號${\chi }^2(n,\delta )$在數學上有意義，我們需要證明卡方分布只依賴參數$n$和$\delta$，可以參考陳希孺的數理統計引論引理1.1.1到公式1.1.1部分。

卡方分布的分布函數

記$k(x|n,\delta ),K(x|n,\delta )$為卡方分布${\chi }^2(n,\delta )$的概率密度與累積分布函數，下面推導這兩個函數的表達式。

中心化卡方分布

先討論中心化的卡方分布，當$x>0$時，根據上一講講過的多元正態分布的密度函數，可以寫出：
$$\begin{gathered} K(x|n,0)=P(X\le x)={\int }_B(2\pi {)}^{?n/2}\exp \left(?\frac{1}{2}{y}^{\prime }y\right)dy \\ B=\{y:y^{\prime }y\le x\} \end{gathered}$$
按計算正態密度函數的積分的常規套路，將這個這個積分變換到球坐標$(r,{\theta }_1,?,{\theta }_{n?1})$下進行，記
$$D(r,{\theta }_1,?,{\theta }_{n?1})=\frac{?(y_1,y_2,?,y_n)}{?(r,{\theta }_1,?,{\theta }_{n?1})}$$
用積分換元公式，
$$K(x|n,0)=(2\pi {)}^{?n/2}{\int }_0^{\sqrt{x}}{\int }_0^{\pi }?{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }D(r,{\theta }_1,?,{\theta }_{n?1})e^{?r^2/2}drd{\theta }_1?d{\theta }_{n?1}$$

這里簡單介紹一下$n$維的球坐標與直角坐標之間的轉換。
$$\begin{gathered} y_1=r\cos ({\theta }_1) \\ {y}_2=r\sin ({\theta }_1)\cos ({\theta }_2) \\ {y}_3=r\sin ({\theta }_1)\sin ({\theta }_2)\cos ({\theta }_3) \\ ? \\ {y}_n=r\sin ({\theta }_1)?\sin ({\theta }_{n?2})\cos ({\theta }_{n?1}) \end{gathered}$$

它的Jacobi行列式為
$$D(r,{\theta }_1,?,{\theta }_{n?1})=\left|\begin{array}{cccccc}1& ?r\sin ({\theta }_1)& 0& ?& 0& 0\\ 1& r\cos ({\theta }_1)\cos ({\theta }_2)& ?r\sin ({\theta }_1)\sin ({\theta }_2)& ?& 0& 0\\ ?& & & & & \end{array}\right|$$
（懶得打公式了）
從它的結構可以看出來，這是一個擬下三角行列式，它的值是比較好求的，最常規的方法是在第一行做Laplace展開，每一次展開都會得到更低階的擬下三角行列式，然后再用Laplace展開（其實有點難算）；另一種方法是用第一列消去第二列第一個元素，然后用第二列消去第三列第二個元素，最后把這個擬下三角行列式化簡成一個對角行列式。這里直接給出結果：
$$D(r,{\theta }_1,?,{\theta }_{n?1})=r^{n?1}\prod _{i=1}^{n?2}[\sin ({\theta }_i){]}^{n?1?i}$$
所以
$$K(x|n,0)=(2\pi {)}^{?n/2}{\int }_0^{\sqrt{x}}{\int }_0^{\pi }?{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{r}^{n?1}\prod _{i=1}^{n?2}[\sin ({\theta }_i){]}^{n?1?i}{e}^{?r^2/2}drd{\theta }_1?d{\theta }_{n?1}$$

現在繼續計算積分。

這個積分有個非常有趣的性質，${\theta }_1,?,{\theta }_{n?1}$的積分區域與$x$無關，因此上面的積分可以記為
$$K(x|n,0)=C_n{\int }_0^{\sqrt{x}}{r}^{n?1}{e}^{?r^2/2}dr$$

根據歸一性確定常數$C_n$的值，
$$\begin{gathered} K(\infty |n,0)=1=C_n{\int }_0^{\infty }{r}^{n?1}{e}^{?r^2/2}dr=C_n{\int }_0^{\infty }{r}^{n?2}{e}^{?r^2/2}d(r^2/2) \\ =C_n{2}^{n/2}{\int }_0^{\infty }(r^2/2{)}^{n/2?1}{e}^{?r^2/2}d(?r^2/2)=C_n{2}^{n/2}\Gamma (n/2)?C_n=\frac{(1/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)} \end{gathered}$$

因此
$$\begin{gathered} K(x|n,0)=\frac{(1/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{\int }_0^{\sqrt{x}}{r}^{n?1}{e}^{?r^2/2}dr \\ k(x|n,0)=K^{\prime }(x|n,0)=\frac{(1/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{x}^{\frac{n}{2}?1}{e}^{?x/2} \end{gathered}$$
這就是${\chi }^2(n)$的分布與概率密度，很顯然它也是Gamma分布族的一員，${\chi }^2(n){=}_d\Gamma (\frac{n}{2},\frac{1}{2})$。

一般的卡方分布

當$\delta =0$時，用上面的方法計算做積分變換的時候會比較麻煩，為了計算簡便一點，我們考慮一些有趣的結構。記$X=[X_1,X_2,?,X_n{]}^{\prime }$，$a=[a_1,a_2,?,a_n{]}^{\prime }$，則$X～N_n(a,I_n)$，假設$Y=TX$，構造$T$為正交矩陣，則根據上一講的性質：$Y～N_n(Ta,I_n)$，假設構造的$T$滿足：$Ta=[\delta ,0,?,0{]}^{\prime }$，則
$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2=X^{\prime }X=Y^{\prime }(T^{?1}{)}^{\prime }(T^{?1})Y=Y^{\prime }Y=Y_1^2+\sum _{i=2}^n{Y}_i^2$$
記$Z={\sum }_{i=2}^n{Y}_i^2$，則$Y_1^2$與$Z$獨立，且$Z～{\chi }^2(n?1)$，因此只要確定了$Y_1^2$的分布就可以用卷積算出${\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$的分布：
考慮$Y_1^2$的分布，$Y_1～N(\delta ,1)$，這非常簡單，略去過程：
$$g(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi x}}\left[\exp \left(?\frac{(\sqrt{x}?\delta {)}^2}{2}\right)+\exp \left(?\frac{(\sqrt{x}+\delta {)}^2}{2}\right)\right]$$

由此可以計算
$$k(x|n,\delta )=g(x)?k(x|n?1,0)={\int }_0^{x}k(x?y|n?1,0)g(y)dy$$
我們先把被積函數寫出來欣賞一下，
$$k(x?y|n?1,0)g(y)=\frac{(1/2{)}^{(n?1)/2}}{\Gamma ((n?1)/2)}(x?y{)}^{\frac{n?1}{2}?1}{e}^{?(x?y)/2}\frac{1}{2\sqrt{2\pi y}}\left[\exp \left(?\frac{(\sqrt{y}?\delta {)}^2}{2}\right)+\exp \left(?\frac{(\sqrt{y}+\delta {)}^2}{2}\right)\right]$$

這種東西一看就不想去求它的積分，一個更加巧妙的方法是用級數來替換$g(x)$中的指數函數，
$$g(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{{\delta }^2+x}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{\delta }^{2i}}{(2i)!}{x}^{i?\frac{1}{2}}$$

這樣被積函數就可以寫成，
$$k(x?y|n?1,0)g(y)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}\frac{(1/2{)}^{(n?1)/2}}{\Gamma ((n?1)/2)}{e}^{?\frac{{\delta }^2+x}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{\delta }^{2i}}{(2i)!}{y}^{i?\frac{1}{2}}(x?y{)}^{\frac{n?1}{2}?1}$$

雖然看上去更復雜了，但這個形式其實是非常好積分的，
$$k(x|n,\delta )=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}\frac{(1/2{)}^{(n?1)/2}}{\Gamma ((n?1)/2)}{e}^{?\frac{{\delta }^2+x}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{\delta }^{2i}}{(2i)!}{\int }_0^x{y}^{i?\frac{1}{2}}(x?y{)}^{\frac{n?1}{2}?1}dy$$

現在僅剩的要積分的部分很明顯就是beta函數的構造，這里更一般地表述一下這個技巧，要計算積分
${\int }_0^x{y}^a(x?y{)}^{b}dy$，做換元$t=y/x$，可以得到
$${\int }_0^x{y}^a(x?y{)}^{b}dy=x^{a+b+1}{\int }_0^1{t}^a(1?t{)}^{b}dt=x^{a+b+1}B(a+1,b+1)$$

其中$B(a+1,b+1)$是beta函數，
$$B(a+1,b+1)=\frac{\Gamma (a+1)(b+1)}{\Gamma (a+b+2)}$$

利用這個技巧可以把密度函數寫出來：
$$k(x|n,\delta )=e^{?\frac{{\delta }^2+x}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{\delta }^{2i}}{2^{i}i!}\frac{x^{i+n/2?1}}{2^{i+n/2}\Gamma (i+n/2)}$$

實際上這個密度函數寫出來的意義也不大，可能只是展示一下求積分的技巧？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论VI 数理统计基础3 卡方分布上的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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