UA MATH564 概率論I 求離散型隨機(jī)變量的分布1

• 題目
• 解答

對于離散型隨機(jī)變量 $X$，記它的概率分布列為
$$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,?$$
歸一性要求
$$\sum _{i=1}^{\infty }{p}_i=1$$
離散型隨機(jī)變量的樣本空間是可列的，可以用古典概型來理解，記 $N$是基本事件總數(shù)，記 $N_i=\#\{X=x_i\}$即 $\{X=x_i\}$包含的基本事件數(shù)目，則
$$\sum _{i=1}^{\infty }{p}_i=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{N_i}{N}=1?N=\sum _{i=1}^{\infty }{N}_i$$
這就是一個計數(shù)恒等式，它說明離散型概率問題與計數(shù)問題是相通的，離散型概率問題可以用組合學(xué)的思路解決，組合學(xué)的等式可以用概率問題解釋。

題目

例1 $n$個球隨機(jī)放進(jìn)$m(m\le n)$個盒子中，求空盒子數(shù)目的分布

例2 $n$個人丟硬幣（假設(shè)丟出正面的概率是$p$），先丟出正面的人獲勝，求第$i$個丟的人獲勝的概率。

例3 假設(shè)有$n$個標(biāo)號為1到$n$的球，$n$個標(biāo)號為1到$n$的袋子。
第一問：把$n$個球隨機(jī)放進(jìn)$n$個袋子中，每個袋子可以容納多個球，記$X$是與所在袋子標(biāo)號相同的球的個數(shù)，求$X$的分布；
第二問：把$n$個球隨機(jī)放進(jìn)$n$個袋子中，每個袋子只能容納一個球，記$Y$是與所在袋子標(biāo)號相同的球的個數(shù)，求$Y$的分布。

例3 $n$個球隨機(jī)放進(jìn)$m(m\le n)$個盒子中，記$X_i$表示恰好有$i$個球的盒子的數(shù)目，求$X_i$的分布

例4 鞋柜中有$n$雙風(fēng)格不同的鞋子，從中隨機(jī)選出$2r(r\le n)$只，正好構(gòu)成$X$雙，求$X$的分布。

例5 $m$個人每人丟$n$次硬幣（假設(shè)丟出正面的概率是$p$），$X$表示丟出相同正面朝上的次數(shù)的人數(shù)，求$X$的分布。

例6 $n$對夫妻圍著一張有$2n$個位置的圓桌隨機(jī)坐下，記$X$表示恰好與自己的丈夫/妻子相鄰的夫妻對數(shù)，求$X$的分布

例8 進(jìn)入餐廳的第$n$為顧客選擇空桌子的概率是$\alpha /(n?1+\alpha )$，選擇坐了$c$個人的桌子的概率是$c/(n?1+\alpha )$，記$X_n$是第$n$位顧客入座后被占據(jù)的桌子數(shù)目，求$X_n$的分布

例9 $n$個人參加一個宴席，宴席上有$m(m\le n)$個圓桌，每個圓桌最多容納$r(mr\ge n)$個人，眾人隨機(jī)入座，求空桌子數(shù)目的分布

解答

例1 $n$個球隨機(jī)放進(jìn)$m(m\le n)$個盒子中，求空盒子數(shù)目的分布
答案 將$n$個球放入$m$個盒子中共有$m^n$中放法，因此基本事件總數(shù)是$N=m^n$。記空盒子數(shù)目為$X$，則$X\in \{0,1,2,?,m\}$，現(xiàn)在考慮$X=k$包含的基本事件數(shù)目，$k=0,1,?,m$。首先從$m$個盒子中選出$k$個空盒子，也就是$C_m^k$中選法；接下來將$n$個球分為$m?k$組，分法一共有$S_2(n,m?k)$種；最后把這$m?k$組放入剩下的$m?k$個盒子中，一共有$(m?k)!$中放法。因此$X=k$包含的基本事件數(shù)目為$N_k=C_m^k{S}_2(m,m?k)(m?k)!=S_2(n,m?k)A_m^{m?k}$。根據(jù)第二類Stirling數(shù)的性質(zhì)：
$$\sum _{k=0}^m{N}_k=\sum _{k=0}^m{S}_2(n,m?k)A_m^{m?k}=m^n$$
所以空盒子個數(shù)的分布為
$$P(X=k)=\frac{S_2(n,m?k)A_m^{m?k}}{m^n},k=0,1,2,?,m$$

例2 $n$個人丟硬幣（假設(shè)丟出正面的概率是$p$），先丟出正面的人獲勝，求第$i$個丟的人獲勝的概率
答案 游戲在第$k$輪丟完還沒結(jié)束的概率是$(1?p{)}^{kn}$；在第$k+1$輪中，第$i$個丟的人獲勝的概率是$(1?p{)}^{i?1}p$；因此第$i$個人在第$k+1$輪獲勝的概率記為$p_{k+1}^{(i)}$：
$$p_{k+1}^{(i)}=(1?p{)}^{kn}(1?p{)}^{i?1}p=(1?p{)}^{kn+i?1}p$$
記第$i$個人獲勝的概率是$p_i$，則
$$p_i=\sum _{k=0}^{\infty }{p}_{k+1}^{(i)}=\sum _{k=0}^{\infty }(1?p{)}^{kn+i?1}p=(1?p{)}^{i?1}p\sum _{k=0}^{\infty }(1?p{)}^{kn}=\frac{(1?p{)}^{i?1}p}{1?(1?p{)}^n}$$
先考慮一下歸一性，
$$\sum _{i=1}^n(1?p{)}^{i?1}=\frac{1?(1?p{)}^n}{1?(1?p)}=\frac{1?(1?p{)}^n}{p}?\sum _{i=1}^n{p}_i=1$$

這個問題其實(shí)來源于更經(jīng)典的兩個人丟一個公平的硬幣的問題，如果丟出正面就是獲勝，那么第一個丟的人獲勝的概率是
$$p_1=\frac{0.5^0\times 0.5}{1?0.5^2}=\frac{2}{3}$$
事實(shí)上游戲順序影響公平性從$n$個人的情形中也能看出，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$(1?p)<1$，所以$p_i$一定是關(guān)于$i$單調(diào)遞減的。

例3 假設(shè)有$n$個標(biāo)號為1到$n$的球，$n$個標(biāo)號為1到$n$的袋子。
第一問：把$n$個球隨機(jī)放進(jìn)$n$個袋子中，每個袋子可以容納多個球，記$X$是與所在袋子標(biāo)號相同的球的個數(shù)，求$X$的分布；
第二問：把$n$個球隨機(jī)放進(jìn)$n$個袋子中，每個袋子只能容納一個球，記$Y$是與所在袋子標(biāo)號相同的球的個數(shù)，求$Y$的分布。
答案
第一問：基本事件總數(shù)是$n^n$，$X\in \{0,1,2,?,n\}$，考慮$X=k$包含的基本事件數(shù)目。首先從$n$個球中挑出$k$個，將他們放入對應(yīng)編號的袋子中，共有$C_n^k$種選法；接下來把剩下的$n?k$個球放入到與他們各自編號不一樣的袋子中，放法有$(n?1{)}^{n?k}$種；因此基本事件數(shù)目為$C_n^k(n?1{)}^{n?k}$。驗(yàn)證一下歸一性：
$$\sum _{k=0}^n{C}_n^k(n?1{)}^{n?k}=[1+(n?1{)}^n]=n^n$$
因此$X$的分布為
$$P(X=k)=\frac{C_n^k(n?1{)}^{n?k}}{n^n},k=0,1,?,n$$
第二問：基本事件總數(shù)是$n!$，$X\in \{0,1,2,?,n\}$，考慮$X=k$包含的基本事件數(shù)目。首先從$n$個球中挑出$k$個，將他們放入對應(yīng)編號的袋子中，共有$C_n^k$種選法；接下來，要將$n?k$個球放入$n?k$個袋子中，每個球不能在對應(yīng)編號的袋子里，一共有$(n?k)!?{\sum }_{i=1}^{n?k}(?1{)}^{i?1}{C}_{n?k}^i(n?k?i)!$種放法；因此$X=k$包含的基本事件數(shù)目為
$$C_n^k\left[(n?k)!+\sum _{i=1}^{n?k}(?1{)}^i{C}_{n?k}^i(n?k?i)!\right]=A_n^{n?k}\sum _{i=0}^{n?k}\frac{(?1{)}^i}{i!}$$
因此$X$的分布為
$$P(X=k)=\frac{A_n^{n?k}{\sum }_{i=0}^{n?k}\frac{(?1{)}^i}{i!}}{n!},k=0,1,?,n$$

關(guān)于每個球不能放在對應(yīng)標(biāo)號的袋子里的問題其實(shí)是很著名的$n$個小朋友交換生日禮物每個小朋友不能拿自己的交換方法有多少種的問題。至少有一個小朋友拿自己生日禮物的事件包含的基本事件總數(shù)為
$$\#\{\underset{i=1}{\overset{n}{?}}\{第i個小朋友拿到自己的禮物\}\}$$
記$E_i=\{第i個小朋友拿到自己的禮物\}$，則根據(jù)容斥原理
$$\begin{gathered} \#\{\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{E}_i\}=\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}\#\{S_m\} \\ \#\{S_m\}=\sum _{1\le i(1)<...<i(m)\le n}\#\{\underset{j=1}{\overset{m}{?}}{E}_j\} \end{gathered}$$
$\{S_m\}$的含義是有$m$個小朋友拿自己的禮物，而其他小朋友可以任意交換，因此
$$\#\{S_m\}=C_n^m(n?m)!$$
所以
$$\#\{\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{E}_i\}=\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}\#\{S_m\}=\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}{C}_n^m(n?m)!$$
每個小朋友不拿自己的禮物的拿法種數(shù)為
$$n!?\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}{C}_n^m(n?m)!$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论I 求离散型随机变量的分布1的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。