結合生活中常見實際情況可知，無人車的運行空間一般為二維平面。因此，假設無人車的動力學模型如下：

$$\begin{array}{r}{\dot{p}}_i=v_i\\ {\dot{v}}_i=u_i\end{array}$$

這里，$p_i\in {\mathbb{R}}^2$ 表示UGV的位置狀態，$v_i\in {\mathbb{R}}^2$ 表示UGV的速度狀態，$u_i\in {\mathbb{R}}^2$ 表示UGV的控制輸入。

也可寫成狀態空間方程的形式：

$${\dot{x}}_i=A{x}_i+B{u}_i$$

其中，$x_i=[p_i,v_i{]}^T$，$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。

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性能指標為：
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }[x^{T}Qx+u^{T}Ru]dt$$

假設 $Q=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],R=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$。

alphaG = 1; betaG = 1; aG = kron([0 1; 0 0], eye(1)); bG = kron([ 0 ; 1 ], eye(1)); QG = eye(2*1) * alphaG; RG = eye(1*1) * betaG; [PG,l,g] = care(aG,bG,QG,RG);KG = -inv(RG) * bG' * PG;

解算出來最優 $K$

KG =-1.0000 -1.7321

代入初始值，$p(t=0)=10,v(t=0)=2$，計算系統方程

p0 = 10; v0 = 2; in = [p0 v0]';[t,out] = ode45(@odeFun, [0,10], in); plot(t,out);function out = odeFun(t,in)p = in(1,1);v = in(2,1);dp = v;dv = -p-1.732*v;out = [dp; dv]; end

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性能指標為：
$$J=t_f+\frac{1}{2}{\int }_0^{t_f}{u}^2(t)dt$$

初始狀態（橫截條件）為：
$$\begin{array}{rlr}& p(0)=10& p(t_f)=0\\ & v(0)=1& v(t_f)=0\end{array}$$

構建系統Hamilton函數
$$H=\frac{1}{2}{u}^2(t)+{\lambda }_{1}v+{\lambda }_{2}u(t)$$

正則方程
$$\begin{array}{rl}& \dot{p}(t)=\frac{?H}{?{\lambda }_1}=v\\ & \dot{v}(t)=\frac{?H}{?{\lambda }_2}=u\\ & {\dot{\lambda }}_1=?\frac{?H}{?p}=0?{\lambda }_1=a\\ & {\dot{\lambda }}_2=?\frac{?H}{?v}=?{\lambda }_1?{\lambda }_2=?at+b\end{array}$$

因為 $u$ 是無約束的，因此有極值條件
$$\frac{?H}{?u}=u+{\lambda }_2=0$$

得出來 $u$ 的表達式
$$u=?{\lambda }_2=at?b$$

由 $u$ 的表達式做積分可得
$$\begin{array}{rl}v& =\frac{1}{2}a{t}^2?bt+c\\ p& =\frac{1}{6}a{t}^3?\frac{1}{2}b{t}^2+ct+d\end{array}$$

結合橫截條件中的初態條件 $p(0)=10,v(0)=1$ 可得
$$\begin{array}{rl}c& =1\\ d& =10\end{array}$$

由Hamilton函數在最優軌線末端應滿足的條件 $H(t_f)=?\frac{?\phi }{?t_f}$ 有
$$\begin{array}{rl}H(t_f)& =\frac{1}{2}{u}^2(t)+{\lambda }_{1}v+{\lambda }_{2}u(t)\\ & =\frac{1}{2}(a{t}_f?b{)}^2+a(\frac{1}{2}a{t}_f^2?b{t}_f+c)+(?a{t}_f+b)(a{t}_f?b)\\ & =?\frac{?\phi }{?t_f}\\ & =?1\end{array}$$

再結合橫街條件中的末態條件 $p(t_f)=0,v(t_f)=0$，現在已經三個方程三個未知量，解方程即可
$$?\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}(a{t}_f?b{)}^2+a(\frac{1}{2}a{t}_f^2?b{t}_f+c)+(?a{t}_f+b)(a{t}_f?b)=?1\\ & \frac{1}{2}a{t}_f^2?b{t}_f+c=0\\ & \frac{1}{6}a{t}_f^3?\frac{1}{2}b{t}_f^2+c{t}_f+d=0\end{array}$$

利用Matlab解算方程組

syms a b tf eqns = [1/2*(a*tf-b)^2 + a*(1/2*a*tf^2-b*tf+1) + (-a*tf+b)*(a*tf-b) == -1,... 1/2*a*tf^2 - b*tf + 1==0,... 1/6*a*tf^3 - 1/2*b*tf^2 + tf + 10==0]; vars = [a b tf]; [a b tf] = solve(eqns, vars);double(a) double(b) double(tf)a = 0.4276 b = 1.6897 tf= 7.2589

解的最后結果為
$$?\begin{array}{rl}& a=0.4276\\ & b=1.6897\\ & t_f=7.2589\end{array}$$

因此，代入解算出來的參數，那么有最優
$$?\begin{array}{rl}& t_f^{?}=7.2589\\ & u^{?}(t)=0.4276t?1.6897\\ & v^{?}(t)=0.2138t^2?1.6897t+1\\ & p^{?}(t)=0.0713t^3?0.8448t^2+t+10\\ & J^{?}(t)=t_f^{?}+\frac{1}{2}{\int }_0^{t_f^{?}}{u}^{?2}(t)dt\end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】二阶 UGV 的 时间-输入 指标性能最优解算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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