線性時不變微分代數系統
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}Ex(t)& =Ax(t)+Bu(t),\\ y(t)& =Cx(t)+Du(t),\end{array}$$

這里 $sE?A\in \mathbb{R}[s{]}^{n\times n}$ 是正規的，$B\in {\mathbb{R}}^{n\times m},C\in {\mathbb{R}}^{p\times n},D\in {\mathbb{R}}^{p\times m}$，
傳遞函數 (transfer function) 為
$$G(s)=C(sE?A{)}^{?1}B+D.$$

Definition: 一個合理的矩陣 $G(s)\in \mathbb{R}(s{)}^{p\times m}$ 稱為
a) outer 如果 $p={\text{rank}}_{\mathbb{R}(s)}G(s)$ 且 $G(s)$ 無零點在 $\mathbb{C}+$;
b) inner 如果 $G(s)$ 無極點在 $\mathbb{C}+$ 且 $G^H(?s)G(s)=I_m$.

因此
定義如下形式的因式分解
$$G(s)=G_i(s)G_o(s),$$

這里 $G_i(s)$ 是 inner , $G_o(s)$ 是 outer.

Ref: Inner-Outer Factorization for Differential-Algebraic Equations

總結

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