Matlab實現模糊聚類分析 FCM

模糊均值聚類（FCM）是用隸屬度確定每個數據點屬于某個聚類的程度的一種聚類算法。1973年，Bezdek提出了該算法，作為早期硬均值聚類（HCM）方法的一種改進。FCM把 n 個向量 xi(i=1,2,…,n)分為 c 個模糊組,并求每組的聚類中心，使得非相似性指標的價值函數達到最小。FCM 使得每個給定數據點用值在 0,1 間的隸屬度來確定其屬于各個組的程度。與引入模糊劃分相適應,隸屬矩陣 U 允許有取值在 0,1 間的元素。不過,加上歸一化規定，一個數據集的隸屬度的和總等于 1:

那么，FCM的價值函數（或目標函數）：

這里 uij 介于 0，1 間；ci 為模糊組 i 的聚類中心，dij=||ci-xj||為第 i 個聚類中心與第 j 個數據點間的歐幾里德距離；且 m （屬于1到無窮） 是一個加權指數。
構造如下新的目標函數，可求得使下式達到最小值的必要條件:其實就是拉格朗日乘子法：

對上式所有輸入參量求導，使上式達到最小的必要條件為:

和

由上述兩個必要條件，模糊 C 均值聚類算法是一個簡單的迭代過程。在批處理方式運行時,
FCM 用下列步驟確定聚類中心 ci 和隸屬矩陣 U[1]:
步驟 1:用值在 0,1 間的隨機數初始化隸屬矩陣 U
步驟 2:用式(3)計算 c 個聚類中心 ci,i=1,…,c。
步驟 3:根據式(1)計算價值函數。如果它小于某個確定的閥值，或它相對上次價
值函數值的改變量小于某個閥值，則算法停止。
步驟 4:用(4)計算新的 U 矩陣和。返回步驟 2。
上述算法也可以先初始化聚類中心，然后再執行迭代過程。由于不能確保 FCM 收斂于一個最優解。算法的性能依賴于初始聚類中心。因此,我們要么用另外的快速算法確定初始聚類中心，要么每次用不同的初始聚類中心啟動該算法，多次運行 FCM。

注：上面討論不難看出二個參數比較重要：1.聚類的數目，2.控制算法的參數m，如果m過大，則聚類的效果很差，如果m過小，則算法接近Kmeans算法。

借用Matlab自帶的fcm函數來做個例子

data = rand(100,2); % 數據 options = [2;100;1e-5;1]; % 控制參數 [center,U,obj_fcn] = fcm(data,2,options); % 聚類為2類 figure; plot(data(:,1), data(:,2),'o'); title('Demo'); grid on; hold on; maxU = max(U); index1 = find(U(1,:) == maxU); index2 = find(U(2,:) == maxU); line(data(index1,1),data(index1,2),'marker','*','color','g'); line(data(index2,1),data(index2,2),'marker','*','color','r'); plot([center([1 2],1)],[center([1 2],2)],'*','color','k') hold off; figure plot(obj_fcn) title('Objective Function Values') xlabel('Iteration Count')

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總結

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