数字图像处理：第七章 邻域运算
第七章 鄰域運(yùn)算
目錄
相關(guān)與卷積
作業(yè)
1.引言
鄰域運(yùn)算是指當(dāng)輸出圖象中每個(gè)象素是由對(duì)應(yīng)的輸入象素及其一個(gè)鄰域內(nèi)的象素共同決定時(shí)的圖象運(yùn)算，通常鄰域是遠(yuǎn)比圖象尺寸小的一規(guī)則形狀，如正方形2x2、3x3、4x4或用來(lái)近似表示圓及橢圓等形狀的多邊形。信號(hào)與系統(tǒng)分析中的基本運(yùn)算相關(guān)與卷積，在實(shí)際的圖象處理中都表現(xiàn)為鄰域運(yùn)算。鄰域運(yùn)算與點(diǎn)運(yùn)算一起形成了最基本、最重要的圖象處理工具。
以圍繞模板（filter mask, template）的相關(guān)與卷積運(yùn)算為例，給定圖象f(x,y)大小N×N，模板T(i, j)大小m×m（m為奇數(shù)），常用的相關(guān)運(yùn)算定義為: 使模板中心T((m-1)/2,(m-1)/2)與f(x,y)對(duì)應(yīng)，
當(dāng)m=3時(shí)，
卷積運(yùn)算定義為:
當(dāng)m=3時(shí)，
可見(jiàn)，相關(guān)運(yùn)算是將模板當(dāng)權(quán)重矩陣作加權(quán)平均，而卷積與相關(guān)不同的只是在于需要將模板沿中心反疊后再加權(quán)平均。如果模板是對(duì)稱(chēng)的，那么相關(guān)與卷積運(yùn)算結(jié)果完全相同。實(shí)際上常用的模板如平滑模板、邊緣檢測(cè)模板等都是對(duì)稱(chēng)的，因而這種鄰域運(yùn)算實(shí)際上就是卷積運(yùn)算，用信號(hào)系統(tǒng)分析的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，就是濾波，對(duì)應(yīng)于平滑濾波或稱(chēng)低通濾波、高通濾波等情況。
2.平滑
圖象平滑的目的是消除或盡量減少噪聲的影響，改善圖象質(zhì)量。在假定加性噪聲是隨機(jī)獨(dú)立分布的條件下，利用鄰域的平均或加權(quán)平均可以有效地抑制噪聲干擾。圖象平滑實(shí)際上是低通濾波，讓主要是信號(hào)的低頻部分通過(guò)，阻截屬于高頻部分的噪聲信號(hào)。顯然，在減少隨機(jī)噪聲點(diǎn)影響的同時(shí)，由于圖象邊緣部分也處在高頻部分，平滑過(guò)程將會(huì)導(dǎo)致邊緣模糊化。
（1）鄰域平均（矩形鄰域和圓形鄰域）
（2）高斯濾波（Gaussian Filters）
高斯函數(shù)即正態(tài)分布函數(shù)常用作加權(quán)函數(shù)，二維高斯函數(shù)如下：
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，
一般用小于的濾波器，即
當(dāng)時(shí)，
由連續(xù)Gaussian分布求離散模板，需采樣、量化，并使模板歸一化。
Lenna with noise
After Gaussian Filter with =1
After Gaussian Filter with =3
高斯濾波的matlab代碼：Gaussianfilter code of matlab（..\..\download_IPCVPR\CS585Image and Video Computing Home Page.files\gaussian filter code of matlab.htm）
高斯濾波的演示資料參見(jiàn)Canny Edge Detector Demos （..\..\download_IPCVPR\CS585 Image and VideoComputing Home Page.files\canny edge detector demo.htm）
3.中值濾波
與加權(quán)平均方式的平滑濾波不同，中值濾波是將鄰域中的象素按灰度級(jí)排序，取其中間值為輸出象素。中值濾波的效果依賴(lài)于兩個(gè)要素：鄰域的空間范圍和中值計(jì)算中涉及的象素?cái)?shù)（當(dāng)空間范圍較大時(shí)，一般只取若干稀疏分布的象素作中值計(jì)算）。中值濾波能夠在抑制隨機(jī)噪聲的同時(shí)不使邊緣模糊，因而受到歡迎。
網(wǎng)上資料：平滑（..\..\download_IPCVPR\IPFundamentals\SmoothingOperations.htm）http://www.ph.tn.tudelft.nl/Courses/FIP/noframes/fip-Smoothin.html
4.邊緣檢測(cè)
邊緣是指圖象中灰度發(fā)生急劇變化的區(qū)域。圖象灰度的變化情況可以用灰度分布的梯度來(lái)反映，給定連續(xù)圖象f(x,y)，其方向?qū)?shù)在邊緣法線方向上取得局部最大值。
邊緣檢測(cè)：求f(x,y)梯度的局部最大值和方向
f(x,y)在θ方向沿r的梯度
的最大值條件是
，or
梯度最大值
或?yàn)榱藴p少計(jì)算量而用
在離散情況下常用梯度算子來(lái)檢測(cè)邊緣，給定圖象U(m,n)在兩個(gè)正交方向H1、H2上的梯度和如下：
則邊緣的強(qiáng)度和方向由下式給出：
| ? | |
| ? |
常用邊緣檢測(cè)算子
| 算子名 | 特點(diǎn) | ||
| Roberts | 邊緣定位準(zhǔn)，對(duì)噪聲敏感 | ||
| Prewitt | 平均、微分對(duì)噪聲有抑制作用 | ||
| Sobel | 加權(quán)平均邊寬2象素 | ||
| Isotropic Sobel | 權(quán)值反比于鄰點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離，檢測(cè)沿不同方向邊緣時(shí)梯度幅度一致 |
演示：..\SourceProgramCodes\chapter9\武勃981403\Debug\ViewDIB.exe
Lena
Prewitt edge
Sobel edge
有時(shí)為了檢測(cè)特定方向上的邊緣，也采用特殊的方向算子，如檢測(cè)450或1350邊緣的Sobel方向算子：
網(wǎng)上資料：微分算子（..\..\download_IPCVPR\IPFundamentals\Derivative-basedOperations.htm）http://www.ph.tn.tudelft.nl/Courses/FIP/noframes/fip-Derivati.html
?
考慮坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)旋轉(zhuǎn)前坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)后為，則有：
，?
容易看出，雖然，不是各向同性的，但是它們的平方和是各向同性的。
即?
?
且二階微分的和也是各向同性的
定義Laplacian算子為?
Laplacian是各向同性（isotropic）的微分算子。
離散情況下，有幾種不同的模板計(jì)算形式：
補(bǔ)充內(nèi)容：過(guò)零點(diǎn)檢測(cè)（Marr-Hildreth算子）
根據(jù)圖象邊緣處的一階微分（梯度）應(yīng)該是極值點(diǎn)的事實(shí)，圖象邊緣處的二階微分應(yīng)為零，確定過(guò)零點(diǎn)的位置要比確定極值點(diǎn)容易得多也比較精確。但是顯然二階微分對(duì)噪聲更為敏感。
為抑制噪聲，可先作平滑濾波然后再作二次微分，通常采用高斯函數(shù)作平滑濾波，故有LoG(Laplacian ofGaussian)算子。在實(shí)現(xiàn)時(shí)一般用兩個(gè)不同參數(shù)的高斯函數(shù)的差DoG（Difference of Gaussians）對(duì)圖象作卷積來(lái)近似，這樣檢測(cè)出來(lái)的邊緣點(diǎn)稱(chēng)為f(x,y)的過(guò)零點(diǎn)（Zero-crossing）。
過(guò)零點(diǎn)的理論是Marr,Hildreth提出來(lái)的，是計(jì)算視覺(jué)理論中的有關(guān)早期視覺(jué)的重要內(nèi)容。
，
與前面的微分算子僅采用很小的鄰域來(lái)檢測(cè)邊緣不同，過(guò)零點(diǎn)（Zero-crossing）的檢測(cè)所依賴(lài)的范圍與參數(shù)有關(guān)，但邊緣位置與的選擇無(wú)關(guān)，若只關(guān)心全局性的邊緣可以選取比較大的鄰域(如= 4 時(shí)，鄰域接近40個(gè)象素寬)來(lái)獲取明顯的邊緣。過(guò)零點(diǎn)檢測(cè)更可靠，不易受噪聲影響，但缺點(diǎn)是對(duì)形狀作了過(guò)分的平滑，例如，會(huì)丟失明顯的角點(diǎn)；還有產(chǎn)生環(huán)行邊緣的傾向。
Disadvantages of zero-crossing:
- smoothes the shape too much; for example sharp corners are lost
- tends to create closed loops of edges
網(wǎng)上資料：DIP ofMilan Sonka, Image Pre-processing: Local pre-processing（Zero-crossing,Canny Edge）（..\..\download_IPCVPR\DIP of Milan Sonka\edgeextraction.htm）
補(bǔ)充內(nèi)容1：最優(yōu)的階梯型邊緣（step edge）檢測(cè)算法---Canny邊緣檢測(cè)方法
在如下的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)意義下，Canny邊緣檢測(cè)算子對(duì)受白噪聲影響的階躍型邊緣是最優(yōu)的：
(a)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn) … 不丟失重要的邊緣，不應(yīng)有虛假的邊緣；
(b)定位標(biāo)準(zhǔn) … 實(shí)際邊緣與檢測(cè)到的邊緣位置之間的偏差最小；
(c)單響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn) … 將多個(gè)響應(yīng)降低為單個(gè)邊緣響應(yīng)。
Canny 邊緣檢測(cè)算子是基于如下的幾個(gè)概念：
?
(a)邊緣檢測(cè)算子是針對(duì)1D信號(hào)表達(dá)的，對(duì)前兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)，即檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)和定位標(biāo)準(zhǔn)；
(b)如果考慮第三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（多個(gè)響應(yīng)），需要通過(guò)數(shù)值優(yōu)化的辦法得到最優(yōu)解。該最優(yōu)濾波器可以有效地近似為標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯平滑濾波器的一階微分，其誤差小于20%，這是為了便于實(shí)現(xiàn)。這與LoG邊緣檢測(cè)算子很相似。
(c)將邊緣檢測(cè)算子推廣到兩維情況。階躍邊緣由位置、方向和可能的幅度（強(qiáng)度）來(lái)確定。
詳細(xì)內(nèi)容，參見(jiàn)英文原文：
- detection criterion ... important edges should not be missed, there should be no spurious responses
- localization criterion ... distance between the actual and located position of the edge should be minimal
- one response criterion ... minimizes multiple responses to a single edge (also partly covered by the first criterion since when there are two responses to a single edge one of them should be considered as false)
Cannyedge
Matlabcode of Canny edge extraction（..\SourceProgramCodes\chapter7&8\CannyEdgeMatlabCode\EdgeByCanny.m）
詳細(xì)參見(jiàn)：
CannyEdge Detector demo（..\..\download_IPCVPR\CS585 Imageand Video Computing Home Page.files\canny edge detector demo.htm）
Cannyedge detection（..\..\download_IPCVPR\DIP of MilanSonka\edgeextraction.files\PreProcessing3.htm） http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/PreProcessing3.html#canny
Canny Edge 的參考文獻(xiàn)：Milan Sonka,Vaclav Hlavac, and Roger Boyle, Image processing, analysis, and machine vision, Chapman & Hall Computing, London,1993.
補(bǔ)充內(nèi)容2：SUSAN（ Smallest Univalue SegmentAssimilating(吸收)Nucleus
）邊緣檢測(cè)方法
基本原理：
以半徑為3.4個(gè)象素的圓形區(qū)域（覆蓋37個(gè)象素位置）為掩模，考察圖象中每個(gè)點(diǎn)在該區(qū)域范圍內(nèi)的所有點(diǎn)的象素值與當(dāng)前點(diǎn)的值的一致程度：
?
?
?
g:? geometricthreshold, which can be set to 3/4nmax;?n(r0) represents USAN area
| ? | |
| ? |
USAN面積越小，邊緣強(qiáng)度越大。
?
a. 原來(lái)用的相似度函數(shù)；b. 現(xiàn)在用的比較穩(wěn)定的相似度函數(shù)，本例中象素值差別閾值設(shè)為±27；c. 邊界檢測(cè)子（比較結(jié)果的輸出）
?
| ? | |
| ? |
?
| ? | |
| ? |
| ? | |
| ? |
| ? | |
| ? |
詳細(xì)參見(jiàn)：..\Readings\chapter07\SUSAN\Smith_01.pdf
5.細(xì)化
[原則] S為代表形狀區(qū)域的象素的集合，細(xì)化就是要在保持連通性且不減小形狀長(zhǎng)度的條件下消去S中那些不是端點(diǎn)的簡(jiǎn)單邊界點(diǎn)，過(guò)程是按S的上（北）、下（南）、左（西）、右（東）四個(gè)方向順序，反復(fù)進(jìn)行掃描以消去可刪除簡(jiǎn)單邊界點(diǎn)，直到不存在可以消去的簡(jiǎn)單邊界點(diǎn)為止。
[定義] 簡(jiǎn)單邊界點(diǎn)：（Simple border points）S中的一個(gè)邊界點(diǎn)P，如果其鄰域中屬于S的點(diǎn)只有一個(gè)與其相鄰接的連通分量，則P為S的簡(jiǎn)單邊界點(diǎn)。
例如，在8連通鄰域意義下，P點(diǎn)是否簡(jiǎn)單邊界點(diǎn)的情況：
| a.不是 | b.是 | c.是 | d.是 | e.不是 | ||||||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | P | 1 | 0 | P | 1 | 0 | P | 1 | 0 | P | 0 | 0 | P | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
[算法1] 每次細(xì)化需4次掃描,在不刪除端點(diǎn)（只有一個(gè)鄰點(diǎn)）的條件下，按如下條件進(jìn)行：
| nw | n | ne |
| w | p | e |
| sw | s | se |
上式排除了如下的不可刪除北向邊界點(diǎn)類(lèi)型:
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||||
| 1 | P | 1 | 0 | P | P | 0 | P | 0 | 0 | P |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
上式排除了如下的不可刪除南向邊界點(diǎn)類(lèi)型:
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| 1 | P | 1 | 0 | P | P | 0 | P | 0 | 0 | P |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
上式排除了如下的不可刪除西向邊界點(diǎn)類(lèi)型:
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||||
| 0 | P | 0 | 0 | P | 0 | P | 0 | P | 0 | 0 | P | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
上式排除了如下的不可刪除東向邊界點(diǎn)類(lèi)型:
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||||
| 0 | P | 0 | P | 0 | P | 0 | 0 | P | 0 | 0 | P | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
[算法2] E.S. Deutsch提出一種簡(jiǎn)單的細(xì)化算法（參見(jiàn)周冠雄，計(jì)算機(jī)模式識(shí)別--統(tǒng)計(jì)方法，pp.173,華中工學(xué)院出版社，1986。），描述如下：
記象素P的8鄰域點(diǎn)的二值（0，1）化灰度值為fI(i=0,1,2,…,7),其對(duì)應(yīng)位置如下所示：
| 3 | 2 | 1 |
| 4 | P | 0 |
| 5 | 6 | 7 |
Binary Sobel edge
Thinningby E.S.Deutsch
作業(yè)
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清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系 艾海舟
最近修改時(shí)間：2001年7月18日
出處：http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/CourseImageProcess.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理：第七章 邻域运算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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