第六章 幾何運算

目錄

引言

灰度級插值

空間變換

3.1 仿射變換

3.2 透視變換

幾何校正

圖象卷繞（Image Warping）

圖象變形（Image Morphing）

作業(yè)

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1.引言

幾何運算與點運算不同，它可改變圖象中物體（象素）之間的空間關系。這種運算可以看成將各象素在圖象內移動的過程。其定義為：

g(x,y)=f(x',y')=f[a(x,y),b(x,y)] 其中，f(x,y)表示輸入圖象，g(x,y)表示輸出圖象，a(x,y)和b(x,y)表示空間變換，若它們是連續(xù)的，則將保持圖象中的連通關系。

幾何運算中灰度級插值是必不可少的組成部分，因為圖象一般用整數(shù)位置處的象素來定義，而幾何變換中，g(x,y)的灰度值一般由處在非整數(shù)坐標上的f(x,y)的值來確定，即g中的一個象素一般對應于f中的幾個象素之間的位置。反過來看也是一樣，即f中的一個象素往往被映射到g中的幾個象素之間的位置。

實現(xiàn)幾何運算有兩種方法，其一為前向映射法，即：將輸入象素的灰度一個個地轉移到輸出圖象中，如果一個輸入象素被映射到四個輸出象素之間的位置，則其灰度值就按插值法在四個輸出象素之間進行分配；其二為后向映射法（象素填充法），這時將輸出象素逐個地映射回輸入圖象中，若輸出象素被映射到四個輸入象素之間的位置，則其灰度由它們的插值來確定。在實際中，通常采用后向映射法。

幾何變換常用于攝象機的幾何校正過程，這對于利用圖象進行幾何測量的工作是十分重要的。

仿射變換（Affine Transformation）和圖象卷繞（Image Warping）是兩類常見的幾何運算。前者屬于射影幾何變換，多用于圖象配準（ImageRegistration）作為比較或匹配的預處理過程；后者用控制點及插值過程來定義，將一幅圖象逐漸變化到另一幅圖象的圖象變形（Morphing）過程是其典型的應用，多見于影視特技及廣告的制作。

2.灰度級插值

最簡單的插值方法是最近鄰插值，即選擇離它所映射到的位置最近的輸入象素的灰度值為插值結果。復雜一點的方法是雙線性插值，如下圖所示：

假設輸出圖象的寬度為W，高度為H，輸入圖象的寬度為w高度為h，要將輸入圖象的尺度拉伸或壓縮變換至輸出圖象的尺度。按照線形插值的方法，將輸入圖象的寬度方向分為W等份，高度方向分為H等份，那么輸出圖象中任意一點（x，y）的灰度值就應該由輸入圖象中四點（a，b）、（a+1，b）、（a，b+1）和（a+1，b+1）的灰度值來確定（如圖1.）。其中a和b的值分別為：

?
?

?

（x，y）點的灰度值f(x, y)應為：

?
?

?

其中

?
?

　

此外，還有多種其它插值方法，如三次樣條等。圖象處理軟件一般都提供若干種插值方法供用戶自己選擇。

3.空間變換

空間變換包括可用數(shù)學函數(shù)表達的簡單變換（如：平移、拉伸等仿射變換）和依賴實際圖象而不易用函數(shù)形式描述的復雜變換（如對存在幾何畸變的攝象機所拍攝的圖象進行校正，需要實際拍攝柵格圖象，根據(jù)柵格的實際扭曲數(shù)據(jù)建立空間變換；再如通過指定圖象中一些控制點的位移及插值方法來描述的空間變換）。

3.1　仿射變換（affine transformation）

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?

其中 A 是變形矩陣，b是平移矢量。在2維空間，A可以按如下的四個步驟分解：尺度、伸縮、扭曲、旋轉

（1）尺度

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?

（2）伸縮

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（3）扭曲

?
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（4）旋轉

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即：

圖2 人臉圖象和掩膜圖象

3.2 透視變換(Perspective Transformation)

透視變換是中心投影的射影變換，在用非齊次射影坐標表達時是平面的分式線性變換，具有如下的形式：

?
?

（參見：丘維生，解析幾何，北京大學出版社，1996。）

透視變換常用于圖象的校正，例如在移動機器人視覺導航研究中，由于攝象機與地面之間有一傾斜角，而不是直接垂直朝下（正投影），有時希望將圖象校正成正投影的形式，就需要利用透視變換。

　重投影變換的應用實例（透視變形的校正）

（根據(jù)孫健同學的碩士論文摘錄改編，祥見：孫健，面向室外移動機器人THMR-III導航的路標識別算法的研究，碩士學位論文，清華大學計算機系，1997.5）

如果將攝取到的圖象映射到平行于地面的平面上，其效果相當于攝影機把姿態(tài)改變?yōu)榇怪庇诘孛嫦蛳驴?#xff0c;就會在這個新的平面上得到物體真實形狀。由于這種映射相當于將原圖象重新投影到另一個成象面上，故稱之為重投影變換，并將映射后得到的圖象稱為重投影圖象。

圖3. 重投影示意圖

在兩個坐標平面之間的投影變換的數(shù)學形式如下：

設（x, y）是坐標平面XOY中的一點，(x’,y’)是(x,y)在坐標平面X’OY’中對應的象點，則有

其中a,b,c,d,e,f,u,v都是常量。

確定兩個平面之間的投影變換只需要在兩個平面上找到四對“物點和象點”，有這四對點的對應關系就可以確定a,b,c,d,e,f,u,v。具體而言，用一個規(guī)范化坐標系（平面）作為重投影平面，首先建立從規(guī)范化坐標（NormalCoordinate）到原始圖象坐標（Oringinal Coordinate）的變換，其形式為

在地面上取定一個矩形（不一定是正方形），要求它的邊平行或垂直于車體軸線，這樣的矩形在原始圖象中顯示為一個等腰梯形，如圖4.所示。

圖4. 規(guī)范化坐標系和原始圖象坐標系

設A點的坐標為（x₁,y₁），C點坐標為(x₂,y₂)，則B、D的坐標分別是（φ-x₁,y₁）和(φ-x₂,y₂)。經(jīng)過投影，ABCD四個點依此與規(guī)范化坐標系中的(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)四個點相對應。把此對應關系代入上式，得

　

　

可以求得如下的各待定常數(shù)：

以上變換的逆變換OrgToNormal的形式是

把四對點的對應關系代入上式，得到待定系數(shù)的計算方法為：

　其中

公式中只需確定（x₁,y₁）和(x₂,y₂)，確定這幾個參數(shù)的方法如圖5.所示：

圖5. 幾何關系參數(shù)示意圖

（注：“重投影變換”源于：朱志剛，林學閆，“重投影變換在智能移動機器人視覺系統(tǒng)的應用”，模式識別與人工智能，1990,Vol.5,No.2）

4.幾何校正

　幾何校正通過由已知的控制點（柵格）建立起來的幾何變換（.\download_IPCVPR\GeometricsTransformation\GeometricTransformations.htm）進行。

　

左圖：走廊的原圖象；中圖：透視變換將圖象中的地磚校正成正方形；右圖：透視變換將門的四角（原圖最右側的門，有把手的門）校正成矩形。(圖片來源：Andrew Zisserman,Robotics Research Group, University ofOxford, http://www.dai.ed.ac.uk/CVonline/LOCAL_COPIES/EPSRC_SSAZ/node10.html)

5.圖象卷繞（Image Warping）

　圖象卷繞是通過指定一系列控制點的位移來定義空間變換的圖象變形處理。非控制點的位移根據(jù)控制點進行插值來確定。有時利用多項式函數(shù)來擬合控制點之間的對應關系，這時稱為多項式卷繞（Polynomial Warping）。一般情況下，由控制點將圖象分成許多多變形區(qū)域，對每個變形區(qū)域使用雙線性插值函數(shù)來填充非控制點。

　 =>

6.圖象變形（Image Morphing）

　變形是使圖象中的一個物體逐漸變形為另外一個物體的過程。從一起始圖象出發(fā)，利用漸隱(dissolve)技術，使起始圖象逐漸“淡出(fadeout)”，而目標圖象則逐漸“淡入(fade in)”，同時以對應物體為轉換控制對象，通過選擇控制點及控制線來建立插值過程，讓物體上的點從它們的起始位置逐漸移向對應的終止位置。

　

演示播放（..\Demos\chapter06\morph\ahzmorph.avi）

作業(yè)

使用UleadMorph應用，選擇控制點或控制線及網(wǎng)格，觀察圖象變形，說明原因。

編制實現(xiàn)透視及仿射變換的程序，通過交互輸入?yún)?shù)觀察效果。

有兩幅人像攝影照片（例如，一幅是明星的劇照，另一幅是你自己的照片），試設計一個程序，通過少量的交互選擇若干重要的控制點，通過圖象卷繞將其中一幅照片中的人臉部分用另一個人的臉部替換

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清華大學計算機系 艾海舟

最近修改時間：2001年7月18日

出處：http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/CourseImageProcess.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理：第六章 几何运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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