近世代数--极大理想--I是R的极大理想↔R/I是域
近世代數--極大理想--I是R的極大理想?R/I是域
博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。
商環類似商群，通過對環、理想限制某些條件，可以構造出不同特點的環?，F在我們通過素理想，構造整環；通過極大理想，構造域。
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極大理想maximal ideal：MMM
RRR為環，MMM是RRR的真理想，(這里是真理想的定義)，如果對于RRR中任一包含MMM的理想NNN，必有N=MN=MN=M或N=R,N=R,N=R,則MMM是RRR的極大理想。
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極大理想例子：
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Z18Z_{18}Z18?的所有極大理想
Z18Z_{18}Z18?的所有理想：<0>、<1>、<2>、<3>、<6>、<9><0>、<1>、<2>、<3>、<6>、<9><0>、<1>、<2>、<3>、<6>、<9>
- <1><1><1>不是真子集；
- <6>?<3><6>\subseteq <3><6>?<3>，不是極大理想；
- <9>?<3><9>\subseteq <3><9>?<3>，不是極大理想；
- <0>?<3><0>\subseteq <3><0>?<3>，不是極大理想；
- <2>、<3><2>、<3><2>、<3>是Z18Z_{18}Z18?的極大理想
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<p><p><p>為ZZZ的極大理想?p\leftrightarrow p?p為素數
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<p><p><p>為ZZZ的極大理想→p\rightarrow p→p為素數
首先，有個定理：ppp是素數?p∣ab\leftrightarrow p\mid ab?p∣ab一定能得到p∣ap\mid ap∣a或p∣bp\mid bp∣b（(p,a)=1→p∣b,(p,b)=1→p∣a(p,a)=1\rightarrow p\mid b,(p,b)=1\rightarrow p\mid a(p,a)=1→p∣b,(p,b)=1→p∣a）
設ab∈Z,p∣ab，ab\in Z,p\mid ab，ab∈Z,p∣ab，若p?a,→a?<p>→<p>?<p>+<a>p\nmid a,\\\rightarrow a\notin <p>\\\rightarrow <p>\subsetneq <p>+<a>p?a,→a∈/?<p>→<p>?<p>+<a>
因為<p><p><p>是ZZZ的極大理想，根據極大理想的定義，<p>+<a>=<p><p>+<a>=<p><p>+<a>=<p>或<p>+<a>=Z<p>+<a>=Z<p>+<a>=Z，已知<p>+<a>≠<p><p>+<a>\neq <p><p>+<a>?=<p>，所以<p>+<a>=Z<p>+<a>=Z<p>+<a>=Z
因為1∈Z,1\in Z,1∈Z,<p>、<a><p>、<a><p>、<a>是交換環，根據主理想的組成,可得<p>=pu,<a>=av,u,v∈Z<p>=pu,<a>=av,u,v\in Z<p>=pu,<a>=av,u,v∈Z,所以pu+av=1,→pbu+abv=b,b∈Zpu+av=1,\rightarrow pbu+abv=b,b\in Zpu+av=1,→pbu+abv=b,b∈Z
因為p∣ab,p∣pbp\mid ab,p\mid pbp∣ab,p∣pb，所以p∣pbu+abv→p∣bp\mid pbu+abv\rightarrow p\mid bp∣pbu+abv→p∣b。到此處，我們得p∣abp\mid abp∣ab一定能得到p∣ap\mid ap∣a或p∣bp\mid bp∣b，即ppp是素數。
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ppp為素數?<p>\leftrightarrow <p>?<p>為ZZZ的極大理想
設III是ZZZ的理想，<p>?I<p>\subsetneq I<p>?I，則?a∈I,a?<p>,\exists a\in I,a\notin <p>,?a∈I,a∈/?<p>,又因為ppp為素數，則(a,p)=1→?u,v∈Z,(a,p)=1\rightarrow \exists u,v\in Z,(a,p)=1→?u,v∈Z,使得au+pv=1,→?z∈Z,z=z?1=zau+zpv,au+pv=1,\\\rightarrow \forall z\in Z,z=z·1=zau+zpv,au+pv=1,→?z∈Z,z=z?1=zau+zpv,
因為a,p∈I,z,u,v∈Z,a,p\in I,z,u,v\in Z,a,p∈I,z,u,v∈Z,根據理想的定義，
au∈I,av∈I→zau∈I,zpv∈I→?z∈Z,z∈Iau\in I,av\in I\\\rightarrow zau\in I,zpv\in I\\\rightarrow \forall z\in Z,z\in Iau∈I,av∈I→zau∈I,zpv∈I→?z∈Z,z∈I，所以I=Z→<p>I=Z\\\rightarrow <p>I=Z→<p>是ZZZ的極大理想
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極大理想?\leftrightarrow?域：如果RRR是一個交換環，有單位元e≠0e\neq 0e?=0，III是RRR的理想，則III是RRR的極大理想的充分必要條件是R/IR/IR/I是域。
證明：
這里是域的基本概念：加法交換群+乘法交換群首先，我認為有一個很重要的性質理想的吸收性需要先說一下，III是RRR的理想，如果e∈Ie\in Ie∈I，那么由于理想的定義
?r∈R,s∈I,rs,sr∈I→e∈I,re,er∈I→?r∈R,re=er=r∈I→I=R\forall r\in R,s\in I,rs,sr\in I\\\rightarrow e\in I,re,er\in I\\\rightarrow \forall r\in R,re=er=r\in I\\\rightarrow I=R?r∈R,s∈I,rs,sr∈I→e∈I,re,er∈I→?r∈R,re=er=r∈I→I=R
也就是說：環RRR的理想III包含單位元?\leftrightarrow?理想I=RI=RI=R-
III是RRR的極大理想→R/I\rightarrow R/I→R/I是域
要證R/IR/IR/I是域，即證R/IR/IR/I：
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R/I≠{0ˉ}R/I\neq \{\bar{0}\}R/I?={0ˉ}，易證：III是RRR的極大理想→I\rightarrow I→I是RRR的真理想→R/I≠I→R/I≠{0ˉ}\rightarrow R/I\neq I\rightarrow R/I\neq \{\bar{0}\}→R/I?=I→R/I?={0ˉ}
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(乘法)可交換的，易證：RRR是可交換的→R/I\rightarrow R/I→R/I是可交換的
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有單位元，易證：RRR有單位元→R/I\rightarrow R/I→R/I有單位元
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非零元全體構成乘法群：
?aˉ∈R/I,aˉ≠0ˉ,→a?I→I?<a>+I?R→<a>+I=R→e∈<a>+I→?r∈R,b∈I,\forall \bar{a}\in R/I,\bar{a}\neq \bar{0},\\\rightarrow a\notin I\\\rightarrow I\subsetneq <a>+I\triangleleft R\\\rightarrow <a>+I=R\\\rightarrow e\in <a>+I\\\rightarrow \exists r\in R,b\in I,?aˉ∈R/I,aˉ?=0ˉ,→a∈/?I→I?<a>+I?R→<a>+I=R→e∈<a>+I→?r∈R,b∈I,使得e=ar+b→e￣=ar+b￣e=ar+b\\\rightarrow \overline{e}=\overline{ar+b}e=ar+b→e=ar+b?，因為(ar+b)?ar=b∈I,→ar+b￣=ar￣→e￣=ar+b￣=ar￣=a￣?r￣(ar+b)-ar=b\in I,\\\rightarrow \overline{ar+b}=\overline{ar}\\\rightarrow \overline{e}=\overline{ar+b}=\overline{ar}=\overline{a}·\overline{r}(ar+b)?ar=b∈I,→ar+b?=ar→e=ar+b?=ar=a?r
即aˉ\bar{a}aˉ可逆，得證。
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R/IR/IR/I是域→I\rightarrow I→I是RRR的極大理想
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III是RRR的真理想：
R/IR/IR/I是域→R/I≠{0ˉ}→R/I≠I→R≠I→I\\\rightarrow R/I\neq \{\bar{0}\}\\\rightarrow R/I\neq I\\\rightarrow R\neq I\\\rightarrow I→R/I?={0ˉ}→R/I?=I→R?=I→I是RRR的真理想
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J?R,I?J→J=RJ\triangleleft R,I\subsetneq J\rightarrow J=RJ?R,I?J→J=R：
設J?R,I?J,→?a∈J,a?I,→aˉ≠0ˉJ\triangleleft R,I\subsetneq J,\\\rightarrow \exists a\in J,a\notin I,\\\rightarrow \bar{a}\neq \bar{0}J?R,I?J,→?a∈J,a∈/?I,→aˉ?=0ˉ
R/IR/IR/I是域→?bˉ∈R/I,\\\rightarrow \exists \bar\in R/I,→?bˉ∈R/I,使得aˉ?bˉ=eˉ→e+I=ab+I→e∈ab+I,a∈J,b∈R,→ab∈J→e∈ab+I?J→J=R\bar{a}·\bar=\bar{e}\\\rightarrow e+I=ab+I\\\rightarrow e\in ab+I,a\in J,b\in R,\\\rightarrow ab\in J\\\rightarrow e\in ab+I\subseteq J\\\rightarrow J=Raˉ?bˉ=eˉ→e+I=ab+I→e∈ab+I,a∈J,b∈R,→ab∈J→e∈ab+I?J→J=R
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--极大理想--I是R的极大理想↔R/I是域的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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