初等數論--原根--階的計算

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

有兩個定理。

• 設$m=p_1^{l_1}{p}_2^{l_2}\dots \dots p_s^{l_s},$其中$p_i$為素數，$l_i$為大于1的正整數，$or{d}_{p_i^{l_i}}(a)=d_i,or{d}_m(a)=d$,則$d=[d_1,d_2,\dots \dots d_s]。$

證明：設$t=[d_1,d_2,\dots \dots d_s],$現在只要證$t\mid d$且$d\mid t。$
（1）證：$d\mid t$
已知$or{d}_m(a)=d,$要證$d\mid t,$即證$a^t\equiv 1(modm)$
我們已知$$\begin{gathered} a^{d_i}\equiv 1(mod{p}_i^{l_i}) \\ \to a^{[d_1,d_2\dots \dots d_s]}\equiv 1(mod{p}_i^{l_i}) \\ \to a^t\equiv 1(mod{p}_i^{l_i}) \\ \to a^t\equiv 1(mod{p}_1^{l_1}?p_2^{l_2}\dots \dots p_s^{l_s}) \\ \to a^t\equiv 1(modm) \end{gathered}$$，證畢。

（2）證：$t\mid d$
已知$or{d}_{p_i^{l_i}}(a)=d_i,$即$a^{d_i}\equiv 1(mod{p}_i^{l_i})$
我們要證$t\mid d,$即$[d_1,d_2\dots \dots d_s]\mid d$,只需證$d_i\mid d$即可，即證$a^d\equiv 1(mod{p}_i^{l_i})$
$a^d\equiv 1(modm)\to a^d\equiv 1(mod{p}_i^{l_i})$，證畢。

• 設$p$是一個素數，$a=\pm 1,(a,p)=1,or{d}_{p^j}a=d_j,$則$d_{j+1}=d_j$或$d_{j+1}=p{d}_j$。

要證$d_{j+1}=d_j$或$d_{j+1}=p{d}_j$，因為$p$是素數，即證$d_j\mid d_{j+1}$且$d_{j+1}\mid p{d}_j。$

（1）證$d_j\mid d_{j+1}$
我們已知$or{d}_{p^j}a=d^j,$要證$d_j\mid d_{j+1},$只要證$a^{d^{j+1}}\equiv 1(mod{p}^j)$
我們已知$or{d}_{p^{j+1}}a=d^{j+1},\to a^{d^{j+1}}\equiv 1(mod{p}^{j+1})\to a^{d^{j+1}}\equiv 1(mod{p}^j)$,證畢。

（2）證$d_{j+1}\mid p{d}_j$
我們已知$or{d}_{p^{j+1}}a=d^{j+1}$,要證$d_{j+1}\mid p{d}_j$，只要證$a^{p{d}^j}\equiv 1(mod{p}^{j+1})$

• 我們已知$or{d}_{p^j}a=d^j\to a^{d^j}\equiv 1(mod{p}^j)\to p^j\mid a^{d^j}?1$ (1)
• 現在要證$a^{p{d}^j}\equiv 1(mod{p}^{j+1})$，即$p^{j+1}\mid a^{p{d}^j}?1$ (2)
• 考慮$a^{p{d}^j}?1$和$a^{d^j}?1$間的關系

$a^{p{d}^j}?1=(a^{d^j}?1)(a^{(p?1)d^j}+a^{(p?2)d^j}+\dots \dots +a^0)$ (3)
對比**(1),(2),(3)**,現在只要證$p\mid a^{(p?1)d^j}+a^{(p?2)d^j}+\dots \dots +a^0$

我們知道$a^{d^j}\equiv 1(mod{p}^j)\to a^{d^j}\equiv 1(modp)$，即$a^{(p?1)d^j}\equiv 1^{p?1}\equiv 1(modp),a^{(p?2)d^j}\equiv 1^{p?2}\equiv 1(modp),\dots \dots$所以$a^{(p?1)d^j}+a^{(p?2)d^j}+\dots \dots +a^0(modp)\equiv 1+1+\dots \dots +1\equiv p\equiv 0(modp)$,即$p\mid a^{(p?1)d^j}+a^{(p?2)d^j}+\dots \dots +a^0$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--原根--阶的计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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