初等數論--原根--原根間的關系，原根個數

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

前一章信息安全數學基礎–原根–$a^k$對模m的階中已經證明$or{d}_m(a^k)=\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}$,根據這一個等式我們可以推出幾條性質：

• $a^0,a^1,\dots \dots a^{or{d}_m(a)?1}$這$or{d}_m(a)$個數中，模$m$的階為$or{d}_m(a)$有幾個數？

即$or{d}_m(a^k)=or{d}_m(a),\to (or{d}_m(a),k)=1\to k$是$\phi (or{d}_m(a))$中的所有元素，共有$\phi (or{d}_m(a))$個元素$k$

• 如果模$m$有原根，那么有幾個原根？

是上個問題的延續，假設$a$是模$m$的原根，那么$or{d}_m(a^k)=or{d}_m(a)=\phi (m),$即$k=\phi (or{d}_m(a))=\phi (\phi (m))$

• 如果$m$是素數，有原根，那么有幾個原根？原根如何表示？

是上個問題的延續，$k=\phi (\phi (m))=\phi (m?1)$；
假設$a$是模$m$的原根，那么所有原根=$\{a^k|1\le k\le m?1,(k,m?1)=1\}$

• 對于$m?1$的每個正因子$d$，模$m$階為$d$的數有$\phi (d)$個，表示為$\{a^k|1\le k\le m?1,(m?1,k)=\frac{m?1}{d}\}$

• 因為$or{d}_m(a^k)=\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}$，所以我們知道$or{d}_m(a^k)\mid or{d}_m(a)$，即如果已知$a$為原根，那么$a^k$的階的范圍只在$or{d}_m(a)$的正因子$d$間，如果$m$是素數，那么范圍在$or{d}_m(a)=\phi (m)=m?1$的正因子$d$間

• 所有的數$a(a<$模$m)$都可以用原根的次冪來表示。因為原根的次冪模$m$不同余。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--原根--原根间的关系，原根个数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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