題目來源：?？途W-劍指Offer專題
題目地址：斐波那契數列

題目描述

大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項為0）。n<=39

題目解析

方法一：
普通遞歸版求法，這種方法通常和漢諾塔一起被放在課本的遞歸教學部分，應該是面試官不希望看到的算法。
$$F(n)=?\begin{array}{ll}0,& \text{n=0}\\ 1,& \text{n=1,2}\\ F(n?1)+F(n?2),& \text{n>2}\end{array}$$
利用上面遞推式，自頂向下進行求解，因為存在大量的重疊子問題，時間復雜度為 $O(2^n)$。

public class Solution {public int Fibonacci(int n) {if (n == 0) return 0;if (n == 1) return 1;return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);} }

方法二：
我們可以將遞推式的求解從自頂向下改為自底向上（循環實現）。簡而言之，我們已知前兩項的值，然后我們就可以用前兩項的值求出第3項的值，接著求第4、第5、……，直到求出第n項的值。（廢話）

實現過程如下圖所示，兩個相同顏色的箭頭可以確定一個新的數列項。

上述算法的時間復雜度為 $O(n)$，在面試中夠用了，如果還是覺得簡單可以繼續往下看。

public class Solution {public int Fibonacci(int n) {if (n == 0) {return 0;}int a = 1, b = 1;for (int i = 1; i <= n - 2; i++) {a = a + b;b = a - b;}return a;} }

方法三：
我們知道：
$$\begin{gathered} F(n)=F(n?1)+F(n?2) \\ F(n?1)=F(n?1)+0?F(n?2) \end{gathered}$$
將其轉化成矩陣運算可得

$$\left(\begin{array}{c}F(n)\\ F(n?1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)?\left(\begin{array}{c}F(n?1)\\ F(n?2)\end{array}\right)$$
而右邊的$2\times 1$階矩陣又可以進一步分解為
$$\left(\begin{array}{c}F(n?1)\\ F(n?2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)?\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)?\left(\begin{array}{c}F(n?2)\\ F(n?3)\end{array}\right)$$
按照這樣一直分解下去直到右邊的$2\times 1$階矩陣F(2),F(1),即
$$\left(\begin{array}{c}F(n)\\ F(n?1)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{n?2}?\left(\begin{array}{c}F(2)\\ F(1)\end{array}\right)$$
這時利用矩陣版的快速冪求解其中的矩陣冪乘，就可以在 $O(logn)$ 的時間復雜度下得出Fibonacci數列的第n項的值。

這種方法通常是用在算法比賽中，在面試中容易裝逼失敗不適合使用，這里也不掛板子了。

方法四：
根據上面的遞推式，利用我們高中學過的“待定系數法”可以推導出斐波那契數列的通項公式。公式如下，（推導過程略）
$$F(n)=\frac{\sqrt{5}}{5}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n?(\frac{1?\sqrt{5}}{2}{)}^n]$$
公式法時間復雜度為 $O(1)$ ? 感覺不然，求公式中的 $n$ 次方應該要用上快速冪，我個人認為時間復雜度應該也是 $O(logn)$。（我要滾去看源碼了 ）

public class Solution {public int Fibonacci(int n) {double a = Math.sqrt(5)/5;double b = Math.pow((1+ Math.sqrt(5))/2, n);double c = Math.pow((1- Math.sqrt(5))/2, n);return (int)(a * (b - c));} }

后記:
如果你在寫出循環版之后，再給面試官描述后面兩種算法，并流暢寫出通項公式的推導過程，相信肯定可以取得面試官的芳心~

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的剑指Offer #07 斐波那契数列（四种解法）| 图文详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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