【二叉樹的定義】

二叉樹（ binary tree）是 n 個結點的有限集合，該集合或為空集（空二叉樹），或由一個根結點與兩棵互不相交的，稱為根結點的左子樹、右子樹的二叉樹構成。

二叉樹的特點是：

• 每個結點最多有兩棵子樹，故二叉樹中不存在度大于 2 的結點
• 二叉樹是有序的，其次序不能任意顛倒，即使樹中的某個結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹

二叉樹具有以下 5 種基本形態：

【特殊的二叉樹】

在實際應用中，常會用到以下幾種特殊的二叉樹。

1.斜樹

所有的結點都只有左子樹的二叉樹稱為左斜樹，所有的結點都只有右子樹的二叉樹稱為右斜樹

在斜樹中，每層只有一個結點，因此斜樹的結點個數與其深度相同

2.滿二叉樹

在一棵二叉樹中，若所有的分支結點都存在左子樹和右子樹，且所有的葉子都在同一層上，則稱為滿二叉樹。

其特點是：

• 葉子只能出現在最下一層
• 只有度為 0、度為 2 的結點

由于滿二叉樹的特性可知：滿二叉樹在同樣深度的二叉樹中結點個數、葉結點個數最多。

3.完全二叉樹

對一棵具 n 個結點的二叉樹按層序編號，若編號為 i 的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號 i 的結點在二叉樹中的位置完全相同，則稱為完全二叉樹，那么顯然有：滿二叉樹是完全二叉樹

其特點是：

• 葉結點只能出現在最下兩層，且最下層的葉結點都集中在二叉樹左側連續的位置
• 若有度為 1 的結點，只可能有一個，且其只有左孩子
• 深度為 k 的完全二叉樹在 k -1 層上行一定是滿二叉樹

簡單來說，在滿二叉樹中，從最后一個結點開始，連續去掉任意個的結點，即是一棵完全二叉樹

【二叉樹的性質】

1.二叉樹的第 i 層上行最多有??個結點

2.在一棵深度為 k 的二叉樹中，最多有? 個結點，最少有 k 個結點

推論：深度為 k 且具? 個結點的二叉樹一定是滿二叉樹，但深度為 k 具有 k 個結點的二叉樹不一定是斜樹

3.具有 n 個結點的二叉樹，其分支數：B=n-1，對于任意一個結點，每度貢獻一個分支，即：度為 0 的結點貢獻 0?個分支，度為 1 的結點貢獻 1 個分支，度為 2 的結點貢獻 2 個分支。

4.在一棵二叉樹中，若葉結點個數為 ，度為 2 結點個數為 ，那么有：

5.具有 n 個結點的完全二叉樹的深度為?

6.對一棵具有 n 個結點的完全二叉樹，從 1 開始按層序編號，則對于任意編號 i 的結點，有：

• 若 i=1，則：結點 i 為根節點；若 i>1，則：結點 i 的父結點編號為?
• 若 2i<=n，則：結點 i 的左孩子編號為 2i；若 2i>n，則結點 i 無左孩子
• 若 2i+1<=n，則：結點 i 的右孩子編號為 2i+1；若 2i+1>n，則結點 i 無右孩子

【二叉樹的遍歷】

二叉樹中最基本的操作是遍歷。

二叉樹的遍歷是從根節點出發，按照某種次序訪問二叉樹中的所有結點，使得每個結點僅被訪問一次。

根據二叉樹的定義可知：一棵二叉樹由根節點、根節點的左子樹、根節點的右子樹三部分構成，因此只要遞歸的遍歷這三部分即可遍歷整棵樹。

二叉樹的遍歷通常分為四種方式：

• 前序遍歷：先訪問根結點，再前序遍歷根節點的左子樹，然后再前序遍歷根節點的右子樹（根左右）
• 中序遍歷：先中序遍歷根結點的左子樹，再訪問根節點，然后再中序遍歷根結點的右子樹（左根右）
• 后序遍歷：先后序遍歷根結點的左子樹，再后序遍歷根結點的右子樹，然后再訪問根結點（左右根）
• 層次遍歷：從根節點開始，按層次從小到大逐個訪問，同一層次按照從左到右的次序

二叉樹遍歷的性質：

• 已知前序遍歷序列和中序遍歷序列，可以確定唯一的一棵二叉樹
• 已知后序遍歷序列和中序遍歷序列，可以確定唯一的一棵二叉樹

【二叉樹的存儲結構】

二叉樹的存儲結構分為：順序存儲結構、二叉鏈表、三叉鏈表、線索鏈表等，其各有優劣，在應用時應根據實際情況靈活使用。

• 順序存儲結構：點擊這里
• 二叉鏈表：點擊這里
• 三叉鏈表：點擊這里
• 線索鏈表：點擊這里

【樹、森林、二叉樹的轉換】

從樹的孩子兄弟表示法和二叉樹的二叉鏈表表示法可以看出，樹的孩子兄弟表示法實質上是二叉樹的二叉鏈表存儲形式，因此，從物理結構上來看，兩者是相同的，只是解釋不同。

因此，以二叉鏈表為媒介，可導出樹與二叉樹間的對應關系，也就是說，給出一棵樹，可以找到一棵唯一的二叉樹與之對應，這樣一來，對樹的操作即可借助二叉樹的存儲，利用二叉樹上的操作實現。

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【哈夫曼樹及哈夫曼編碼】

哈夫曼樹（Huffman Tree）又稱最優二叉樹，而哈夫曼編碼（Huffman Coding）又稱最優編碼，是一種編碼方式，屬于可變字長編碼（VLC）一種，其根據字符出現的概率來構造異字頭的平均長度最短的碼字。

哈夫曼樹與哈夫曼編碼是二叉樹的經典應用，在實際中有著廣泛的應用。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的理论基础 —— 二叉树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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