【題目鏈接】

ybt 1084：冪的末尾
OpenJudge NOI 小學奧數 7833:冪的末尾

【題目考點】

1. 同余定理

根據同余定理，有：
$(a?b)\%m=(a\%m?b\%m)\%m$

2. 冪取模

$\begin{array}{rl}{a}^b\%m& =(a^{b?1}?a)\%m\\ & =(a^{b?1}\%m?a\%m)\%m\end{array}$
這就是求$a^b\%m$的遞推公式
其中b = 1時$a^b\%m=a\%m$

【解題思路】

本題要求的是冪的末三位數，即為冪的值模1000。根據冪取模的遞推公式，若要求$a^b\%m$，可以有以下三種解法。

1. 遞推

設v[i]表示$a^b\%m$
有：
v[i] = (v[i-1] * a%m) %m;
v[1] = a % m;

2. 迭代

迭代法思路與遞推相似，只不過不用數組，只用變量。每次求出的值都賦值給變量s。
初始值：s = a % m;
循環中：s = (s * (a % m)) % m;

3. 遞歸

函數設為：
int solve(int b);求$a^b\%m$的值
要求該值，需要先求$a^{b?1}\%m$的值，代入公式$a^b\%m=(a^{b?1}\%m?a\%m)\%m$

注意事項：對于1位數要輸出兩個前導0，對于2位數要輸出1個前導0

【題解代碼】

解法1：迭代

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int a, b, s = 1;//s：結果 cin>>a>>b;for(int i = 1; i <= b; ++i)s = s * a % 1000;if(s < 10)//輸出前導0 cout<<"00";else if (s < 100)cout<<'0';cout<<s;return 0; }

解法2：遞推

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int a, b, v[10005]; cin>>a>>b;v[1] = a;for(int i = 2; i <= b; ++i)v[i] = v[i-1] * a % 1000;if(v[b] < 10)//輸出前導0 cout<<"00";else if (v[b] < 100)cout<<'0';cout<<v[b];return 0; }

解法3：遞歸

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int solve(int a, int b)//求a^b % 1000的值，其中a < 1000 {if(b == 1)return a;elsereturn solve(a, b - 1) * a % 1000; } int main() {int a, b, s; cin>>a>>b;s = solve(a, b);if(s < 10)//輸出前導0 cout<<"00";else if (s < 100)cout<<'0';cout<<s;return 0; }

總結

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