【題目鏈接】

ybt 1345：【例4-6】香甜的黃油
洛谷 P1828 [USACO3.2]香甜的黃油 Sweet Butter

【題目考點】

1. 圖論 最短路徑

【解題思路】

將題目敘述轉為圖論概念，牧場為頂點，牧場間的路線為邊。該題一個頂點上有多頭牛，這個后面再考慮。
記有V個頂點，E條邊，有n頭牛，每頭牛所在頂點為$v_1,v_2,...v_n$，$d(i,j)$為頂點i，j間的最短路徑長度。
題目要問的問題是，選擇一個頂點c，使得${\sum }_{i=1}^{n}d(v_i,c)$最小。
如果已知每頭牛所在頂點到其它任意頂點的最短路徑長度，那么接下來就可以遍歷所有頂點，記遍歷到的頂點為i，選擇頂點i為放糖的地方，求所有牛所在頂點到頂點i的最短路徑加和，這一步的復雜度為$O(V?n)$
問題落在如何求每頭牛所在頂點到其它任意頂點的最短路徑。

• 使用Floyd算法，求所有頂點間的最短路徑長度。題目給定頂點數（牧場數）最大為800，Floyd算法的復雜度為$O(V^3)$，$800^3=5.12?10^8$，運算次數在$10^7$以下可以保證不會超時，復雜度達到$10^8$數量級很可能會超時，所以不能用Floyd算法。
  如果用單源最短路徑算法，需要對每頭牛所在頂點跑一次單源最短路徑算法。算法整體復雜度為：$O(n)$乘以所用的單源最短路徑算法的復雜度。
• 考慮使用樸素Dijkstra算法，整體復雜度為$O(n?V^2)$，計算$500?800^2=3.2?10^8$，不可行。
• 使用Dijkstra堆優化算法，整體復雜度為$O(n?ElogE)$，題目中邊數最多約為1500，計算$500?1500?lo{g}_{2}1500\approx 8.25?10^6$，可行。
• 使用SPFA算法，復雜度為$O(kE)$，k為每個頂點平均入隊次數，在稀疏圖中一般小于2，可以認為等于2。用SPFA算法做該問題，整體復雜度為$O(n?kE)$，計算$500?2?1500=1.5?10^6$，可行。

以上是思考過程，該題做法為：

通過Dijkstra堆優化算法或SPFA算法求出每個牛所在頂點到其它所有頂點的最短路徑

遍歷每個頂點v，求每個牛所在頂點到v的最短路徑長度乘以那里牛的數量，再加和。求這些加和中的最小值。

【題解代碼】

解法1：Dijkstra堆優化算法

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 805 #define INF 0x3f3f3f3f struct Pair {int v, d;Pair(){}Pair(int a, int b):v(a),d(b){}bool operator < (const Pair &b) const{return b.d < d;} }; struct Edge {int t, w;Edge(){}Edge(int a, int b):t(a),w(b){} }; int n, p, c; bool vis[N]; int dis[N][N];//dis[i][j]:i到j的最短路徑長度 int place[N];//place[i]:牛i所在的頂點 vector<Edge> edge[N]; void initGraph() {int f, t, w;cin >> n >> p >> c;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> place[i];for(int i = 1; i <= c; ++i){cin >> f >> t >> w;edge[f].push_back(Edge(t, w));edge[t].push_back(Edge(f, w));} } void dijkstra(int v0) {memset(vis, 0, sizeof(vis));priority_queue<Pair> pq;dis[v0][v0] = 0;pq.push(Pair(v0, 0));while(pq.empty() == false){int u = pq.top().v;pq.pop();if(vis[u])continue;vis[u] = true;for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i){int v = edge[u][i].t, w = edge[u][i].w;if(vis[v] == false && dis[v0][v] > dis[v0][u] + w){dis[v0][v] = dis[v0][u] + w;pq.push(Pair(v, dis[v0][v]));}}} } int main() {int v0, sum, ans = INF;initGraph();memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));for(int i = 1; i <= n; ++i){v0 = place[i];//起點 if(dis[v0][v0] == INF)//如果該頂點的單源最短路徑問題沒有求過了 dijkstra(v0);}for(int i = 1; i <= p; ++i){//在頂點i放糖 sum = 0;for(int j = 1; j <= n; ++j)sum += dis[place[j]][i];ans = min(ans, sum);}cout << ans;return 0; }

解法2：SPFA算法

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 805 #define INF 0x3f3f3f3f struct Pair {int v, d;Pair(){}Pair(int a, int b):v(a),d(b){}bool operator < (const Pair &b) const{return b.d < d;} }; struct Edge {int t, w;Edge(){}Edge(int a, int b):t(a),w(b){} }; int n, p, c; bool vis[N]; int dis[N][N];//dis[i][j]:i到j的最短路徑長度 int place[N];//place[i]:牛i所在的頂點 vector<Edge> edge[N]; void initGraph() {int f, t, w;cin >> n >> p >> c;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> place[i];for(int i = 1; i <= c; ++i){cin >> f >> t >> w;edge[f].push_back(Edge(t, w));edge[t].push_back(Edge(f, w));} } void spfa(int v0) {memset(vis, 0, sizeof(vis));queue<int> que;dis[v0][v0] = 0;que.push(v0);vis[v0] = true;while(que.empty() == false){int u = que.front();que.pop();vis[u] = false;for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i){int v = edge[u][i].t, w = edge[u][i].w;if(dis[v0][v] > dis[v0][u] + w){dis[v0][v] = dis[v0][u] + w;if(vis[v] == false){que.push(v);vis[v] = true;}}}} } int main() {int v0, sum, ans = INF;initGraph();memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));for(int i = 1; i <= n; ++i){v0 = place[i];//起點 if(dis[v0][v0] == INF)//如果該頂點的單源最短路徑問題沒有求過了 spfa(v0);}for(int i = 1; i <= p; ++i){//在頂點i放糖 sum = 0;for(int j = 1; j <= n; ++j)sum += dis[place[j]][i];ans = min(ans, sum);}cout << ans;return 0; }

總結

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