【題目鏈接】

ybt 1226：裝箱問題
OpenJudge NOI 4.6 19:裝箱問題

【題目考點】

1. 貪心

【解題思路】

該題說是三維立方體，實際上無論是包裹還是產品，高度都是h，因而不用考慮高度，這實際上是二維平面上的問題。

1. 貪心選擇性質的證明

貪心選擇：選擇最大的可以裝入該包裹的產品裝入該包裹

證明：存在最優解包含第一次的貪心選擇。即存在最優解，第一個包裹中包含最大產品。

假設所有最優解都不包含第一次的貪心選擇，即第一個包裹C中不包含最大的產品x。
最大的產品x一定存在于某個包裹內，記那個包裹為N。我們可以將N中的所有產品和C中的所有產品完全交換。總包裹數量不變，第一個包裹C中存在產品x，這與假設相悖，假設不成立，原命題得證。

證明：前k步都做貪心選擇，存在最優解包含第k+1步的貪心選擇。

是否做貪心選擇區別在于：當前拿到一個最大的可以裝入當前包裹C的產品x，是將這個產品放在當前包裹C中，還是將其放在一個新包裹N中。貪心選擇是將其放在當前包裹C中。
使用反證法：假設對所有最優解，在裝第k+1個產品時，當前關注的包裹C可以裝入的最大產品為x，此時不進行貪心選擇，不選擇x，接下來只會裝入大小小于x的產品。也可以說，當前包裹C中，產品x的數量不會更多。
下面考慮在N中包括x的部分產品能否和C中的一些產品或空位交換，且兩包裹仍能裝得下。如果可以，那么說明第k+1步進行了貪心選擇，選擇了產品x，總包裹數量不變，也是最優解。假設不成立，原命題得證。

• 如果N中x的數量大于C中x的數量，且x在C中與N中都是最大的產品，那么可以將N與C中的所有產品整體交換。
  x為4*4、5*5、6*6都滿足這一情況?；駽中3*3的個數比N中3*3的個數更少。
  例：x為5*5，在第k+1步往C中裝產品時，沒有按照貪心選擇將5*5的產品裝入C。后來5*5的產品裝入了N，C中又裝了一些產品。將C與N的所有產品交換后，C中存在貪心選擇，總包裹數仍然最少，說明存在最優解在第k+1步進行了貪心選擇，假設不成立，原命題得證。
  
  以下為N中x的數量小于等于C中x的數量的情況：
• 如果x是1*1的產品，那么C當時可以放1*1的產品但不放，存在一些位置空著，C中一定有可以放下1*1的空位?？梢酝瓿山粨Q。
  
• 如果x是2*2的產品，那么C當時可以放2*2的產品但不放，去放1*1的產品或空著。那么在C中一定可以選擇出2*2的區域，其中可以是1*1的產品也可以是空位，與x進行交換。
  
• 如果x是3*3的產品，說明先前加入C的是若干個3*3的產品。

如果C中已經有3個3*3的產品，剩下3*3的位置，這部分位置的產品或空位都可以與x進行交換。

如果C中已經有2個3*3的產品，且剩余的空間中擺了至多3個2*2的產品。
N中有2個3*3產品與至多3個2*2產品，此時，把N中的1個3*3與C中的2個2*2與1個1*1交換，結果為C中有3個3*3與1個2*2，N中有1個3*3與5個2*2，這種交換是可行的。
同理，如果N中有1個3*3與至多5個2*2，用N中的1個3*3交換C中的2個2*2與1個1*1是可行的。
例：將N中的紅色3*3產品x與C中的藍色兩個2*2產品與1個1*1產品進行交換。交換 后一些1*1產品位置發生變化。

如果C中已經有1個3*3產品，剩余空間擺了至多5個2*2的產品。N中有1個3*3產品與至多5個2*2的產品，用N中的1個3*3交換C中的2個2*2與1個1*1是可行的。
如果待交換的產品沒有那么多，可以用空位代替。
例：將N中的紅色3*3產品x與C中的藍色兩個2*2產品與1個1*1產品進行交換。交換 后一些1*1產品位置發生變化。

• x不可能是4*4或更大的產品，如果是，C中可以放x但不放，C中的x只能是0個，而N中的x有1個，這是前面已經討論過的“如果N中x的數量大于C中x的數量”的情況。
  因此N中包括x的部分產品總能和C中的一些產品或空位交換位置。說明第k+1步進行了貪心選擇，選擇了產品x，總包裹數量不變，也是最優解。因而假設不成立，原命題得證。

2. 具體做法

考慮各種情況下，剩下的空間最多可以放下幾個各種產品，總結成表格

已有最多放幾個3*3最多放幾個2*2最多放幾個1*1

1個6*6	0	0	0
1個5*5	0	0	11
1個4*4	0	5	20
1個3*3	3	5	27
2個3*3	2	3	18
3個3*3	1	1	9
無	4	9	36

此這基礎上，每多放一個2*2，1*1可放個數減4。
觀察規律，1*1可以放的個數就是總面積6*6減去所有放入其中的產品的總面積。
在已有3*3的情況下，每多放入一個3*3，2*2可以放入的個數減2。
這里只需要設數組記錄放入1個某大小產品后，其他大小產品可以放入的數量。

從大到小遍歷各個產品，找到一個產品，開一個新包裹將其放入。如果剩余位置還可以放產品，那么放入對應產品，改變剩余位置可放產品的數量。直到沒有位置可放或沒有足夠的產品可放為止。再從大到小找下一個產品，開一個新包裹將其放入。重復上述過程，直到看完所有產品為止。

【題解代碼】

解法1：貪心（本人原創）

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int status[8][4];//status[i][j]:包裹中已有1個大小為i*i的產品，此時可以最多放入多少個j*j的產品 void initStatus() {//status[0]:包裹中沒有產品時，各種產品最多可以放多少個 status[2][2] = 8;status[3][2] = 5, status[3][3] = 3;status[4][2] = 5;for(int i = 1; i <= 6; ++i)status[i][1] = 36 - i*i; } int pro[8];//pro[i]:i*i產品的數量 int main() {initStatus(); while(true){int sum = 0, bag = 0, rem[8];//sum:總產品數量 bag:包裹數 rem[i]:當前剩余空間能放幾個i*i for(int i = 1; i <= 6; ++i){cin >> pro[i];sum += pro[i];}if(sum == 0)//如果6個數都是0，那么加和為0，要跳出循環 break;for(int i = 6; i >= 1; --i){while(pro[i] > 0){bag++;//用一個新包裹放i*ipro[i]--;for(int j = 1; j <= 3; ++j)//獲取當前剩余空間情況 rem[j] = status[i][j];int j = 3;while(j >= 1){if(rem[j] > 0 && pro[j] > 0)//如果可以放j*j的產品 {pro[j]--;//放一個產品 if(j == 3){rem[3]--;rem[2] -= 2;rem[1] -= 9;}else if(j == 2){rem[2]--;rem[1] -= 4;}else//j == 1rem[1]--;}else--j;}} }cout << bag << endl;} return 0; }

解法2：手動完成貪心過程

思路來自zqhf123博客：zqhf123 1226：裝箱問題
由于箱子種類不多，我們可以手動完成每一步的貪心行為。先裝大產品，看占了多少空間，剩下多少空間。再看小產品。逐次算出當前可以給下一個產品留出的空位。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int bag;//總包裹數 int k[4] = {0, 5, 3, 1};//k[i]表示3*3的產品有i個時（k[0]表示有4個時）剩余空間可以放2*2產品的個數 int pro[8], p2, p1;//p2:2*2空位數 p1:1*1空位數 int main() { while(true){for(int i = 1; i <= 6; ++i)cin >> pro[i];if(pro[1] == 0 && pro[2] == 0 && pro[3] == 0 && pro[4] == 0 && pro[5] == 0 && pro[6] == 0) break;bag = pro[6] + pro[5] + pro[4] + ceil(pro[3]/4.0);//6*6和5*5和4*4一定是一個占一個箱子，而3*3 4個占一個箱子p2 = 5*pro[4]+k[pro[3]%4];//k[pro[3]%4]：有pro[3]%4個3*3在一個包裹中時，剩下的位置可以放2*2的數目 if(pro[2] > p2)//2*2的個數比我們留出來為2*2的空間個數多，就需要為2*2另開箱子bag += ceil((pro[2]-p2)/9.0);//多出來的2*2箱子應該占用的新箱子數 p1 = 36*bag-36*pro[6]-25*pro[5]-16*pro[4]-9*pro[3]-4*pro[2];//求出當前包裹中所有剩下的可以放1*1的位置數 if(pro[1] > p1)//如果1*1的個數，比我們留出的空間多就需要另開空間 bag += ceil((pro[1]-p1)/36.0);//將多出來的另開箱子 cout << bag << endl;}return 0; }

總結

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