#前言
本文翻譯自Kspectra -tool
有興趣的人可以去原文看看，話不多說開始講解。
#奇異值譜分析
奇異值譜分析是一種非參數方法。它試圖避免使用參數化方法-假定一個模型擬合時間序列，并且克服有限采樣點數和采樣噪聲帶來的問題。該方法使用一個數據自適應的基，而不是使用Blackman-Tukey方法-固定的sine或者cousine。
Vautard and Ghil (1989: VG 之后) 意識到經典的延遲協方差分析和延遲方法之間的形式相似性。
他們指出成對的奇異值譜分析特征模式相關于近乎相等的特征值和在相位均方上相聯的可以有效代表一個非線性，非諧波的振蕩的（時域）主成份，更進一步探究了這個相似性。
這是因為一個單一成對的數據自適應特征模式可以抓住方波和鋸齒振蕩的基本的周期性，也就是說，而不是使用固定方法會分析出的更多的信息（其實并不需要的）。

SSA方法有三個基本步驟：1在一個向量維度空間里面嵌入采樣時間序列；2計算MM維的數據延遲協方差矩陣$C_D$；3可視對角化$C_D$
步驟一：時間序列$x(t):t=1,....,N$ 被嵌入到一個M維的向量空間，M是延遲矩陣的維度，其中總共有M份延遲的拷貝：$x(t?j):j=1,.....,M$ 對于M的選擇并沒有什么金標準，但是SSA方法，在分析尺度為（M/5,M）的時候都比較成功易于實現。
步驟二：一個人定義了MM的延遲協方差矩陣估計器$C_D$。這里有三個不同的方法被廣泛地用來定義矩陣$C_D$.在BK（Broomhead 和 king)的方法，一個長度為M的窗口在時間序列上進行平滑，產生了一個在嵌入空間里面長度為N‘=N-M+1的向量.這個序列被用來獲得N’×M的軌跡矩陣D，其中第i行是時間序列的第i個視圖。
在這個定義下，$C_D$被定義為奇異值譜分析：

在VG的算法里面，$C_D$通過對角線恒定的Toeplitz矩陣直接估計獲得，即，它的元素$C_{ij}$只取決于延遲|i-j|

奇異值譜Toeplitz矩陣

Burg 協方差估計是一個基于擬合AR成分數目和SSA窗口數目相等的AR模型的迭代算法。
Burg和VG的方法都需要自協方差矩陣是toeplitz的，但BK的方法不需要這個。
Burg的方法原則傻瓜會導致更少的因為采樣點數有限導致的譜泄漏問題并且因此提高分辨率。
然而，Burg的估計可以導致顯著的偏差當時間序列非平穩同時在時間序列里面有超低頻波動的時候。因此，有時候VG方法是值得嘗試的。同樣，對于長的時間序列（N 大于等于5000時），VG的估計會帶來更少的計算負擔同時實現的更快。

在實踐中，VG的方法相比Burg方法更有可能帶來計算的數值不穩定性（產生了負的特征值），特別是分析純粹的振蕩。BK的方法因此有些時候會更少傾向于產生非平穩時間序列的問題。雖然 VG方法看起來是最沒有問題的，但確實是極端不穩定的。然而，Toeplitz方法確實顯得導致了更穩定的結果，即使在時間序受到了輕微的抖動影響。
kSpectra Toolkit里面實現了Burg，BK，和VG算法
步驟三：n點采樣的協方差矩陣計算后，對矩陣進行了對角化，同時對特征值（${\lambda }_k$k=1…M）進行了降序排列。特征值『${\lambda }_k,k=1,...,M$』給出了對應的特征向量Ek對應的特定方向的時間序列的方差。特征值的均方根是奇異值，對應的集合是奇異譜。這些概念給定了SSA是它的名字；BK 展示了如何通過將SVD方法應用到跡矩陣Matrix D從而獲得奇異值譜。VG調用了EK向量的時間經驗正交函數（EOFs），通過在仿真的氣象學數據，使用在空域的PCA驗證。

如果我們排列和畫出降序的奇異值，就可以區分始降的斜坡，代表著信號，或者平坦的階梯代表著噪聲，為了正確的區分信號與噪聲，這個可視化的觀測譜值區分，必須用后文所示的，一個合適的準則使用統計顯著性進行區分。
一旦這些斜坡被實現，一些其他的有趣的結果同樣也可以獲得。
對于每一個經驗正交函數Ek，帶著成分 {Ek(j): j=1, …M}，我們可以構建長度為N的時間序列，通過以下公式：

奇異值譜分析的主成分：
被稱作第K個主成份，它代表著原時間序列在K階經驗正交函數上的投射，主成份的功率譜的和等價于時間序列的功率譜；因此，我們可以學習到區分不同成分特征譜的貢獻。主成份，然而，有長度N‘，而不是N，并且不包含相位信息。
為了提取出長度為N的時間序列，對應于選擇出來的K個特征元素的子集。相關的主成分被用來重建部分原始時間序列X（t）。時間序列的主要成分。
奇異值譜重建。

和

這些時間長度為N的時間序列被叫做重建成份。他們對保持時間序列的相位信息有重要的價值。因此，對應于x（t）和RK（t）可以被強化。當k包含了單個奇異值向量Ek的成分，RK（t）被稱作K階RC。這個時間序列可以累加RC從而不丟失任何信息地完全重建，當存在一個線性趨勢，基于BK算法的重建在采樣的終點擁有準確的優勢。

對于準確的部分重建信號，即，在正確的集合K={1,2,…S}的經驗正交函數上重建，誘導了相對于白噪聲，最優的信噪比增強。極大熵譜估計在這個干凈的信號上會工作地非常好，而不是原始的時間序列，是帶寬限制的。作為一個結果，一個低階的自回歸模型擬合可以誘導好的譜分辨率，同時沒有假影峰值。
為了表現一個好的信號重建或者它的振蕩部分檢測，有幾個方法——或者啟發式的或者基于蒙特卡羅的想法可以用來分開信號和噪聲或者準確識別振蕩部分或者趨勢，在kSpectra 工具箱里也有。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（译）奇异值谱分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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