基本介紹

凸函數是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數f，而且對于凸子集C中任意兩個向量
$$x1,x2,f((x1+x2)/2)\le \frac{（f(x1)+f(x2))}{2}$$
于是容易得出對于任意（0,1)中有理數p,f(px1+(1-p)x2）≤pf(x1)+(1-p)f(x2）。如果f連續，那么p可以改成任意（0,1）中實數。

若這里凸集C即某個區間I，那么就是：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點X1，X2和任意的實數λ∈（0，1），總有

f（λx1+(1-λ）x2）≤λf(x1)+(1-λ）f(x2),

則f稱為I上的凸函數。

判定方法可利用定義法、已知結論法以及函數的二階導數

對于實數集上的凸函數，一般的判別方法是求它的二階導數，如果其二階導數在區間上非負，就稱為凸函數。（向下凸）

如果其二階導數在區間上恒大于0，就稱為嚴格凸函數。

函數性質

性質
定義在某個開區間C內的凸函數f在C內連續，且在除可數個點之外的所有點可微。如果C是閉區間，那么f有可能在C的端點不連續。

一元可微函數在某個區間上是凸的，當且僅當它的導數在該區間上單調不減。

一元連續可微函數在區間上是凸的，當且僅當函數位于所有它的切線的上方：對于區間內的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y ? x）。特別地，如果f '? = 0，那么c是f(x）的最小值。

一元二階可微的函數在區間上是凸的，當且僅當它的二階導數是非負的；這可以用來判斷某個函數是不是凸函數。如果它的二階導數是正數，那么函數就是嚴格凸的，但反過來不成立。例如，f(x) = x4的二階導數是f "(x) = 12 x2，當x = 0時為零，但x4是嚴格凸的。

更一般地，多元二次可微的連續函數在凸集上是凸的，當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是正定的。

凸函數的任何極小值也是最小值。嚴格凸函數最多有一個最小值。

對于凸函數f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函數不一定是凸函數；這樣的函數稱為擬凸函數。

延森不等式對于每一個凸函數f都成立。如果X是一個隨機變量，在f的定義域內取值，那么（在這里，E表示數學期望。）
折疊定義及相互關系

定義1 設f(x)在區間I上有定義,f(x)在區間I稱為是凸函數當且僅當:?x1，?x2∈I,有f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1)+(1-λ)f(x2)上式中“≤”改成“<”則是嚴格凸函數的定義.

定義2 設f（x）在區間I上有定義,f（x）在區間I稱為是凸函數當且僅當:?x1，?x2∈I， 有f[（x1+x2）/2]≤f（x1）/2+f（x2）/2

定義3 設f（x）在區間I上有定義,f（x）在區間I稱為是凸函數當且僅當?x1、x2…xn∈I：有f[（x1+x2+…xn）/n]≤[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]/n

定義4 f(x)在區間I上有定義,當且僅當曲線y=f(x)的切線恒保持在曲線以下,則成f(x)為凸函數.若除切點之外,切線嚴格保持在曲線下方,則稱曲線f(x)為嚴格凸的

引理1 定義2與定義3等價

引理2 若連續,則定義1，2，3等價

相關示例

函數f(x) = x&sup2；處處有，因此f是一個（嚴格的）凸函數。

絕對值函數f(x) = | x | 是凸函數，雖然它在點x = 0沒有導數。

當1 ≤ p時，函數f(x) = | x | p是凸函數。

定義域為[0,1]的函數f，定義為f(0)=f(1)=1，當0函數x3的二階導數為6x，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函數，在x ≤ 0的集合上是凹函數。

每一個在內取值的線性變換都是凸函數，但不是嚴格凸函數，因為如果f是線性函數，那么f(a + b) = f(a) + f(b）。如果我們把“凸”換為“凹”，那么該命題也成立。

每一個在內取值的仿射變換，也就是說，每一個形如f(x) = aTx + b的函數，既是凸函數又是凹函數。

每一個范數都是凸函數，這是由于三角不等式。

如果f是凸函數，那么當t > 0時，g(x,t) = tf(x / t）是凸函數。

單調遞增但非凸的函數包括和g(x) = log(x）。

非單調遞增的凸函數包括h(x) = x2和k(x) = ? x。

函數f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在區間（0,+∞）內是凸函數，在區間（-∞，0）內也是凸函數，但是在區間（-∞，+∞）內不是凸函數，這是由于x = 0處的奇點。

注：某些教材的凸函數定義與此定義相反，即凸函數與凹函數相反

總結

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