一、對偶問題

????每個線性規劃問題都有一個與之對應的對偶問題。對偶問題是以原問題的約束條件和目標函數為基礎構造而來的。對偶問題也是一個線性規劃問題，因此可以采用單純形法（有關單純形法會在以后的筆記中補充）求解。對偶問題的最優解也可以通過原問題的最優解得到，反之亦然。而且，在某些情況下，利用對偶理論求解線性規劃問題更為簡單，而且有助于深入了解待求問題的本質。

二、對偶問題的定義與表述

????考慮如下形式的線性規劃問題：

mincTxst.Ax≥bx≥0
該問題稱為原問題，其相應的對偶問題定義為：
maxλTbst.λTA≤cTλ≥0
其中， λ∈Rm是對偶向量。在原問題和對偶問題中， b和c的作用是互逆的，這種對偶稱為對稱形式的對偶。

????為了定義任意線性規劃問題的對偶問題，可首先將給定的線性規劃問題轉換為與上述原問題結構形式相同的等價問題；然后，根據對稱形式的對偶，得到等價問題的對偶。

三、證明對偶問題的對偶是原問題

???? 將對偶問題表示為：

minλT(?b)st.λT(?A)≥(?cT)λ≥0
則上述問題的等價于：(將上式兩端同時轉置)
min(?bT)λst.(?AT)λ≤?cλ≥0
則上式的對偶問題為：( x等價于對偶定義的 λ)
maxxT(?c)st.xT(?A)T≤?bTx≥0
對上式取轉置：
max(?cT)xst.(?A)x≤?bx≥0
整理后，就可以得到原問題。

四、線性規劃問題的標準型

???? 線性規劃問題的標準型約束為Ax=b,為了構造相應的對偶問題，首先將上述等式變換為不等式：

Ax≥bAx≤b??Ax≥?b
那么，帶有等式的原問題可以寫為：
mincTxst.Ax≥b?Ax≥?bx≥0
上式的對偶問題可以整理為：
maxλTbst.λTA≤cT
這種對偶關系稱為非對稱形式的對偶。

原問題對偶問題

mincTx	maxλTb
st.Ax≥bx≥0	st.λTA≤cTλ≥0

表1 對稱形式對偶關系 原問題對偶問題

mincTx	maxλTb
st.Ax=bx≥0	st.λTA≤cT

表2 非對稱形式對偶關系

五、構造任意線性規劃問題的對偶問題

將原問題轉換為與之等價的對稱形式對偶關系中的原問題。

參照對稱形式對偶關系就可得到對偶問題，整理后可得到非對稱形式的對偶問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最优化学习笔记（十）——对偶线性规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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