Description

　　貝希和她的閨密們在她們的牛棚中玩游戲。但是天不從人愿，突然，牛棚的電源跳閘了，所有的燈都被關閉了。貝希是一個很膽小的女生，在伸手不見拇指的無盡的黑暗中，她感到驚恐，痛苦與絕望。她希望您能夠幫幫她，把所有的燈都給重新開起來！她才能繼續快樂地跟她的閨密們繼續玩游戲！
　　牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盞燈，編號為1到N。這些燈被置于一個非常復雜的網絡之中。有M（1 <= M <= 595）條很神奇的無向邊，每條邊連接兩盞燈。
　　每盞燈上面都帶有一個開關。當按下某一盞燈的開關的時候，這盞燈本身，還有所有有邊連向這盞燈的燈的狀態都會被改變。狀態改變指的是：當一盞燈是開著的時候，這盞燈被關掉；當一盞燈是關著的時候，這盞燈被打開。
　　問最少要按下多少個開關，才能把所有的燈都給重新打開。
　　數據保證至少有一種按開關的方案，使得所有的燈都被重新打開。

Input

　　第一行：兩個空格隔開的整數：N和M。

　　第二到第M+1行：每一行有兩個由空格隔開的整數，表示兩盞燈被一條無向邊連接在一起。沒有一條邊會出現兩次。

Output

　　第一行：一個單獨的整數，表示要把所有的燈都打開時，最少需要按下的開關的數目。

Sample Input

5 6
1 2
1 3
4 2
3 4
2 5
5 3

Sample Output

3

Data Constraint

Hint

【樣例說明】

　　一共有五盞燈。燈1、燈4和燈5都連接著燈2和燈3。按下在燈1、燈4和燈5上面的開關。

Solution

• 這道題看上去無從下手， N≤35 的范圍令人有些不知所措。

• 事實上這道題的解法十分巧妙，用到了 折半搜索 的巧法。

• 分別搜索 217 和 218 兩部分，記錄其中一部分的答案，用哈希表儲存。

• 處理另一部分時從哈希表中查找，異或出答案，相加即可。

• 這樣的時間復雜度折半為 2N2 ，可以通過本題。

• 詳細代碼見下面：（C++選手可以使用 STL 的 Map 庫代替哈希，代碼為注釋部分，簡單卻較慢）

• 據說 這題可以用高斯消元來做，一盞燈與周圍燈的異或值為 1 表示亮，列出 N 個方程解之。

Code

#include<cstdio> //#include<map> using namespace std; const int N=36,mo=1234321; //map<long long,int>mp; int n,m,m1,m2,ans=N; int a[N][N]; long long p[N],f[N],g[mo],h[mo]; bool bz[N]; inline int read() {int X=0,w=1; char ch=0;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();return X*w; } inline int min(int a,int b) {return a<b?a:b; } inline int hash(long long x) {int y=x%mo;while(h[y] && h[y]!=x) y=(y+1)%mo;return y; } inline void dfs1(int x) {if(x>m1){long long num=0;int s=1;for(int i=1;i<=m1;i++)if(bz[i]) num^=f[i],s++;int k=hash(num);if(!h[k]) h[k]=num,g[k]=s; elseg[k]=min(g[k],s);/*if(!mp[num]) mp[num]=s; elsemp[num]=min(mp[num],s);*/return;}bz[x]=true;dfs1(x+1);bz[x]=false;dfs1(x+1); } inline void dfs2(int x) {if(x>m2){long long num=0;int s=-1;for(int i=m1+1;i<=m2;i++)if(bz[i]) num^=f[i],s++;int k=hash(p[n]-1-num);if(h[k]) ans=min(ans,g[k]+s);//if(mp[p[n]-1-num]) ans=min(ans,mp[p[n]-1-num]+s);return;}bz[x]=true;dfs2(x+1);bz[x]=false;dfs2(x+1); } int main() {freopen("1!.in","r",stdin);n=read(),m=read();for(int i=p[0]=1;i<=n;i++) p[i]=p[i-1]<<1;for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read();a[x][++a[x][0]]=y;a[y][++a[y][0]]=x;}for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=p[i-1];for(int j=1;j<=a[i][0];j++) f[i]+=p[a[i][j]-1];}m1=min(N>>1,m2=n);//mp[0]=1;dfs1(1);dfs2(m1+1);printf("%d",ans);return 0; }

總結

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