在復數域上討論.

1.計算若爾當標準形的初等因子

若爾當塊的初等因子是

事實上，考慮它的特征矩陣顯然這就是的n級行列式因子，由于有一個n-1級子式是所以它的n-1級行列式因子是1，從而它一下各級的行列式因子全為1。因此，它的不變因子由此即得，的初等因子是

2.計算若爾當形矩陣的初等因子

設是一個若爾當形矩陣，其中既然的初等因子是所以與等價。于是與等價，因此，J的全部初等因子是這就是說，每個若爾當形矩陣的全部初等因子就是由它的全部若爾當塊的初等因子構成的。

若爾當塊被它的初等因子唯一決定。若爾當形矩陣除去其中若爾當塊排列的次序外被它的初等因子唯一決定。

定理10

每個n級的復數矩陣A都與一個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的，它稱為A的若爾當標準形。

證明：設n級矩陣A的初等因子為（其中可能有相同的，指數也可能有相同的）.每一個初等因子對于一個若爾當塊這些若爾當塊構成一若爾當形矩陣J的初等因子也是（1），因為J與A有相同的初等因子，所以它們相似。

如果另一若爾當形矩陣J'與 A相似，那么J'與A有相同的初等因子，因此J'與J除了其中若爾當塊排列的次序外是相同的，由此即得唯一性。

定理11

設是復數域上n維線性空間V的線性變換，在V帳必定存在一組基，使在這組基下的矩陣是若爾當形，并且這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被唯一決定的。

證明：在V中任取一組基設在這組基下的矩陣是A，由定理10，存在可逆矩陣T，使成若爾當形矩陣，于是在由確定的基下，線性變換的矩陣就是.由定理10，唯一性是顯然的。

定理12

復數矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是，A的初等因子全為一次的。

定理13

復數矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是，A的不變因子都沒有重根。

最后指出，上三角形矩陣也為若爾當塊。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的λ-矩阵（若尔当标准形的理论推论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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