本文介紹了馬爾可夫決策過程，首先給出了馬爾可夫決策過程的定義形式，其核心是在時序上的各種狀態(tài)下如何選擇最優(yōu)決策得到最大回報的決策序列，通過貝爾曼方程得到累積回報函數(shù)；然后介紹兩種基本的求解最優(yōu)決策的方法，值迭代和策略迭代，同時分析了兩種方法的適用場景；最后回過頭來介紹了馬爾科夫決策過程中的參數(shù)估計問題：求解-即在該狀態(tài)下采取該決策到底下一狀態(tài)的概率。

作者 | 文杰

編輯 | yuquanle

馬爾科夫決策過程

A、馬爾科夫決策過程

機器學(xué)習(xí)算法（有監(jiān)督，無監(jiān)督，弱監(jiān)督）中，馬爾科夫決策過程是弱監(jiān)督中的一類叫增強學(xué)習(xí)。增加學(xué)習(xí)與傳統(tǒng)的有監(jiān)督和無監(jiān)督不同的地方是，這些方法都是一次性決定最終結(jié)果的，而無法刻畫一個決策過程，無法直接定義每一次決策的優(yōu)劣，也就是說每一次的決策信息都是弱信息，所以某種程度上講，強化學(xué)習(xí)也屬于弱監(jiān)督學(xué)習(xí)。從模型角度來看，也屬于馬爾科夫模型，其與隱馬爾科夫模型有非常強的可比性。

下面是一個常用的馬爾科夫模型的劃分關(guān)系

不考慮動作考慮動作

狀態(tài)完全可見	馬爾科夫鏈(MC)	馬爾科夫決策過程(MDP)
狀態(tài)不完全可見	隱馬爾科夫模型(HMM)	不完全可觀察馬爾科夫決策過程(POMDP)

馬爾科夫決策過程：

馬爾科夫決策過程由五元組組成

：表示狀態(tài)集合

：表示一組動作

：表示在某一狀態(tài)下，采取動作，轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)態(tài)的概率，也就是說在確定的狀態(tài)下采取相應(yīng)的動作之后不能完全確定下一狀態(tài)，而是以一定的概率確定下一狀態(tài)。

：表示決策過程的一個阻尼系數(shù)，用戶定義回報在決策過程中隨時間打折扣，加快決策國產(chǎn)的收斂

：表示在該狀態(tài)下的一個回報，有時由動作和狀態(tài)共同決定回報該時刻的回報。

有了上面的定義之后，一個完整的馬爾科夫決策過程狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：

該過程表示從出發(fā)，有決策函數(shù)來選擇相應(yīng)的動作，然后以概率到達下一狀態(tài)，這里的只是表示第時刻的狀態(tài)，而的值屬于狀態(tài)集。

回報函數(shù)定義之后，整個決策過程的累積回報如下：

當回報函數(shù)與狀態(tài)無關(guān)累積回報如下：

其中為折扣因子，隨著決策不斷進行，回報不斷打折扣。

當定義不同決策函數(shù)時，我們會得到不同的回報，因此就定義了一個決策到回報的函數(shù)。在整個決策過程中，給定決策函數(shù)—在狀態(tài)下采取動作。因此，從狀態(tài)出發(fā)，采用決策函數(shù)，有累積回報函數(shù)如下：

直接最大化累積回報函數(shù)不易，從遞推角度來看，由貝爾曼方程有：

其中為立即回報，表示由采取動作之后轉(zhuǎn)移到下一個狀態(tài)集中，具體到哪個狀態(tài)的概率為。其解釋性可以理解為下象棋最終的累積回報為輸贏，在第狀態(tài)下的累積回報則是當前狀態(tài)下的立即回報以及未來的回報。第一項為立即回報，第二項就是未來的回報。

有了上面的貝爾曼方程，我們的目標就是最大化任意狀態(tài)下出發(fā)的累積回報函數(shù)，其中也是一個決策函數(shù)，但是在累積回報函數(shù)中它是我們需要優(yōu)化的變量。目標函數(shù)如下：

由目標函數(shù)可以看出，最優(yōu)回報和最優(yōu)決策一一對應(yīng)。最大化累積回報對應(yīng)的決策函數(shù)就是最有決策，最有決策對應(yīng)的累積回報也是最大累積回報，所以最有決策如下：

有了最優(yōu)決策和最大累積回報，那么必定有下式：

也就是說最優(yōu)決策下對應(yīng)的累積回報一定不小于一般的決策下的累積回報。

值得注意是，最優(yōu)決策是出于全局考慮的，是從所有狀態(tài)下出發(fā)到得到的累積回報的加和最大，這就意味著決策函數(shù)不保證其中每一個狀態(tài)出發(fā)根據(jù)決策函數(shù)得到的累積回報都是最大的。

最優(yōu)決策：

也許上面的目標函數(shù)還不清晰，如何求解最有決策，如何最大化累積回報

下面結(jié)合例子來介紹如何求解上面的目標函數(shù)。且說明累積回報函數(shù)本身就是一個過程的累積回報，回報函數(shù)才是每一步的回報。

下面再來看求解上述最優(yōu)問題，其中 就是以s為初始狀態(tài)沿著決策函數(shù)走到結(jié)束狀態(tài)的累積回報。

值迭代：

將每一個初始狀態(tài)為s的初始化為0,目標狀態(tài)累積回報為1

循環(huán)直到收斂{

對于每一個初始狀態(tài)，對進行更新：

}

可以看出，更新第一次所有的，也就是說都只看眼下的立即回報，然后由于獎勵狀態(tài)和懲罰狀態(tài)的分布不同，由靠近獎勵狀態(tài)和懲罰狀態(tài)的狀態(tài)決策逐漸導(dǎo)向到初始狀態(tài)的決策，這也就是累積回報不斷更新的原因（動力）。但是值得思考的還是最終會不會收斂到最優(yōu)累積回報（暫時不作討論）。

內(nèi)循環(huán)迭代的的處理方法有兩種：

同步迭代：即在一次循環(huán)過程中，累積回報不更新，而是計算完所有的累積回報之后，再統(tǒng)一更新。

異步迭代，即在一次循環(huán)過程中，每計算完一個初始狀態(tài)下累積回報就立即更新，不需要等到所有的累積回報都計算出來之后再更新。

可以看出兩種迭代方式造成不同的原因是第二項，因為立即更新之后，再計算下一個初始狀態(tài)下的累積回報與暫時不更新得到的累積回報肯定不一樣，拿第一次更新為例，同步更新第一次?，而異步更新則第一次內(nèi)循環(huán)中，除了第一次更新的s會出現(xiàn)?，剩下的都有?，值得肯定的是異步迭代的收斂速度肯定是快于同步迭代。

策略迭代：

值迭代是使累積回報值最優(yōu)為目標進行迭代，而策略迭代是借助累積回報最優(yōu)即策略最優(yōu)的等價性，進行策略迭代。

隨機指定一個策略??。

循環(huán)直到收斂{

a:令

b:對于每一個狀態(tài)s，對做更新

}

這里要說明的是a步是通過前面的貝爾曼方程，以解方程的形式求解出每一個狀態(tài)下的累積回報：

在b步則是根據(jù)累積回報值，重新更新決策?。

同樣，收斂性也是值得探討的，這里簡單的思考一下，由于獎勵狀態(tài)和懲罰狀態(tài)的分布，以及累積回報唯一確定決策函數(shù)，那么未達到最優(yōu)決策，必然累積回報和決策函數(shù)處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，而只有當?shù)竭_最優(yōu)決策時，才有：

所以該過程就是在a步由決策函數(shù)確定累積回報，然后最大化累積回報來更新決策，如此反復(fù)，則有最優(yōu)決策。值迭代和策略迭代比較：可以看出策略迭代涉及從決策函數(shù)到累積回報的解線性方程組的步驟，值迭代則是反復(fù)的，所以策略迭代更適合處理少量狀態(tài)的情況，一般10000以內(nèi)還是可以接受的。

MDP中的參數(shù)估計：

回過頭來再來看前面的馬爾科夫決策過程的定義是一個五元組，一般情況下，五元組應(yīng)該是我們更加特定的問題建立馬爾科夫決策模型時該確定的，并在此基礎(chǔ)上來求解最優(yōu)決策。所以在求解最優(yōu)決策之前，我們還需更加實際問題建立馬爾科夫模型，建模過程就是確定五元組的過程，其中我們僅考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，那么也就是一個參數(shù)估計過程。（其他參數(shù)一般都好確定，或設(shè)定）。

假設(shè)，在時間過程中，我們有下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑：

其中表示步，第條轉(zhuǎn)移路徑對應(yīng)的狀態(tài)，是狀態(tài)下執(zhí)行的動作，每一條轉(zhuǎn)移路徑中狀態(tài)數(shù)都是有限的，在實際過程中，每一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑都要進入終結(jié)狀態(tài)。如果我們獲得了很多上面的轉(zhuǎn)移路徑，那么我們就可以來估計參數(shù)。

分子是在狀態(tài)下采取動作都轉(zhuǎn)移到的次數(shù)，分母是在狀態(tài)下采取動作的次數(shù)。為了避免的情況，同樣采用拉普拉斯平滑。也就是說當?shù)竭_的狀態(tài)是樣本中為為到達過的狀態(tài)，那么在該狀態(tài)下的執(zhí)行的動作達到下一狀態(tài)的概率均分。上面的這種估計方法是從歷史數(shù)據(jù)中進行統(tǒng)計的，同樣該方法適合于在線更新。對于立即回報函數(shù)的估計，一般根據(jù)實際情況學(xué)習(xí)或者設(shè)定。

所以整個馬爾科夫決策過程流程如下（以策略迭代為例）：

隨機初始化策略 ??? 。

循環(huán)直到收斂{

a 在樣本上統(tǒng)計該策略下每個狀態(tài)轉(zhuǎn)移的次數(shù)，來估計和

b 使用估計到參數(shù)來更新對應(yīng)決策函數(shù)下的累積回報

c 根據(jù)更新的累積回報重新進行決策，即更新

}

整個流程就是在策略迭代的基礎(chǔ)上，同時進行了參數(shù)估計。

代碼實戰(zhàn)

A、馬爾可夫決策過程值迭代

/***馬爾科夫決策過程值迭代，關(guān)鍵在于第一次迭代要例外，因為目標狀態(tài)是一個終止狀態(tài)，放到迭代循環(huán)里面會出現(xiàn)臨近的狀態(tài)回報函數(shù)無限的，發(fā)散。迭代過程采用的是異步迭代，即每一次內(nèi)層循環(huán)找到更優(yōu)的回報就立即更新最大回報，以便與之相鄰的狀態(tài)能立即更新到最優(yōu)*/?/****值迭代同步更新12*12*7*/?while(!flag){flag=1;for(i=0; i<size; i++){if(action[i]>0||action[i]==0)maxreward[i]=reward[i]+maxreward[action[i]];else?maxreward[i]=reward[i];}//放到這意味著同步更新，count=1008是12*12的7倍，即掃了7遍for(i=0; i<size; i++)//對每一個狀態(tài)求最大的V(s){for(j=0; j<size; j++)//策略迭代的話這里其實可以換做掃一遍策略集，這也就是和值迭代不同的地方{//cout<<"i="<<i<<" "<<maxreward[i]<<" "<<endl;if(matrix[i][j]==1&&maxreward[j]>maxreward[i]-reward[i]+0.0001)//更新累積回報{action[i]=j;//if(action[i]>0||action[i]==0)//maxreward[i]=reward[i]+maxreward[action[i]];//放到這是異步更新，//else// maxreward[i]=reward[i];flag=0;//當累積回報不再更新，即不進入該if，那么就結(jié)束迭代}count++;}}}

B、馬爾可夫決策過程策略迭代

while(!flag){flag=1;for(i=0; i<size; i++)//對每一個狀態(tài)求最大的V(s){for(j=0; j<ACTION; j++)//策略迭代的話這里其實可以換做掃一遍策略集，這也就是和值迭代不同的地方{//cout<<"i="<<i<<" "<<maxreward[i]<<" "<<endl;if(matrix[i][ac[j]+i]==1&&maxreward[ac[j]+i]>maxreward[i]-reward[i]+0.0001){action[i]=j;//if(reward[i]!=1&&reward[i]!=-1)maxreward[i]=reward[i]+maxreward[ac[j]+i];//else// maxreward[i]=reward[i];flag=0;}count++;}}}

C、馬爾可夫決策過程動態(tài)規(guī)劃版

/**4 非遞歸動態(tài)規(guī)劃從最終狀態(tài)出發(fā)，采用廣度遍歷不斷的更新其上一狀態(tài)的累積回報*/?/*while(q!=NULL)//這里圖的廣度遍歷沒有用到隊列，但也用到了隊列的思想//對于當前步能到達的節(jié)點用鏈表連接起來，然后逐漸進行下一步的能到達的節(jié)點進行入鏈（入隊列），同樣是一種先進先出思想{for(i=0; i<size; i++) //由于不是策略迭代，只能遍歷所有的狀態(tài)，找出能到的，且更優(yōu)的{if(matrix[i][q->data]==1&&maxreward[i]<0)//double類型比較大小的偏差，加上一個小數(shù)作為精度{maxreward[i]=reward[i]+maxreward[q->data];p=(subset *)malloc(sizeof(subset)*1);p->data=i;p->next=NULL;q=maxsubset;while((q->next)!=NULL)q=q->next;q->next=p;}count++;}maxsubset->next=maxsubset->next->next;//刪除當前節(jié)點，即當前步下能到達的節(jié)點都已經(jīng)走完了，可出隊列了q=maxsubset->next;//}

The End

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【强化学习入门】马尔科夫决策过程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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