賦范線性空間定義的概念

開集： A subset $S$ of a normed linear space $(X,\Vert ?\Vert )$ is open if for each $s\in S$ there is an $?>0$ such that $B(s,?)?S$

閉集：A subset $F$ of a normed linear space $(X,\Vert ?\Vert )$ is closed if its complement $X\backslash F$ is open

閉包：Let $S$ be a subset of a normed linear space $(X,\Vert ?\Vert ).$ We define the closure of $S,$ denoted by $\bar{S},$ to be the intersection of all closed sets containing $S$

閉包：包含S的最小的閉集，任意多個閉集的交集仍是閉集。

完備性：A metric space $(X,d)$ is said to be complete if every Cauchy sequence in $X$ converges in $X$.

一個度量空間X中的所有柯西數列都會收斂到X 中的一點 ，那么X被稱為是一個完備空間。注意此處的柯西序列一定要收斂到它的度量空間X中，否則就是不完備的。例如：有理數，我們定義一個柯西序列$\{x_n\},x_n=\underset{i=1}{\stackrel{n}{\sum \frac{1}{i^2}}}$，對于這個序列，當n趨近于無窮大的時候，它的值是$\frac{{\pi }^2}{6}$. 可以看到這個柯西序列中每一個元素都是有理數，但是它卻收斂到無理數集中，所以有理數集不是完備的。

數學及其相關領域中，一個對象具有完備性，即它不需要添加任何其他元素，這個對象也可稱為完備的或完全的，例如實數就具有完備性，而有理數就不具有。

巴拿赫空間： A normed linear space that is complete with respect to the metric induced by the norm is called a Banach space.

有界： A subset $A$ of a normed linear space $(X,\Vert ?\Vert )$ is bounded if $A?B[x,r]$ for some $x\in X$ and $r>0$
It is clear that $A$ is bounded if and only if there is a $C>0$ such that $\Vert a\Vert \le C$ for all $a\in A$.

對于一個子集，如果存在某個大小的開球可以包住它，那么這個子集就是有界的。

完全有界：A subset $A$ of a normed linear space $(X,\Vert ?\Vert )$ is totally bounded (or precompact) if for any $?>0$ there is a finite $?$ -net $F_{?}?X$ for $A$. That is, there is a finite set $F_{?}?X$ such that
$$A?\underset{x\in F_{?}}{?}B(x,?)$$

對于一個子集，如果多個任意大小的開球的并能夠包住它，那么這個子集就是完全有界的。
子集A的每一個序列都有一個柯西子序列，那么A是完全有界的。

序列緊（列緊）： A normed linear space $(X,\Vert ?\Vert )$ is sequentially compact if every sequence in $X$ has a convergent subsequence.

每一個X中的序列都有一個收斂的子序列，那么X是列緊的。完全有界且完備$\to$列緊

有限維賦范線性空間的范數都是等價的。

有限維賦范線性空間都是完備的，都是閉合的。

有限維賦范線性空間的閉合有界子集是列緊的。

稠密集：給定拓撲空間X及其子集A，如果對于X中任一點x，x的任一鄰域同A的交集不為空，則A稱為在X中稠密。直觀上，如果X中的任一點x可以被A中的點很好地逼近，則稱A在X中稠密。

可分空間：具有可數的處處稠密集的空間稱為可分空間。

總結

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