? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?算法設計----整數劃分遞歸相關問題

一.原問題

整數劃分，是指把一個正整數n寫成如下形式：

假設整數n,能被劃分為i段n=a1+a2+...ai，其中ak為n中劃分的最大整數（1<=ak<=n，1<=k<=i）,則{a1,a2...ai}是n的ak的一個劃分

當n=6時我們可以獲得以下這幾種劃分

一共有11種

分析：討論整數n和劃分的最大整數m的關系，可以分為以下幾種情況：

? ? ? ?①當整數n==1,只有一種劃分，即{1}

? ? ? ?②當劃分的最大整數m==1時，只有一種劃分，即{1，1......1}

? ? ? ?③當n<m時，整數n可以劃分的最大的數為n,即f(n,n)種劃分

? ? ? ?④當n==m時，根據需不需要劃分最大整數m,可以分為兩種情況：

? ? ? ? ? ? ? a:需要劃分最大整數為m,只有一種劃分，即{m}

? ? ? ? ? ? ? b:不需要劃分最大整數為m,即可能劃分的最大整數為m-1，即有f(n,m-1)種劃分

? ? ? ?⑤當n>m時，根據需不需要劃分最大整數m,可以分為兩種情況：

? ? ? ? ? ? ? a:需要劃分最大整數為m,所以繼續在n-m中劃分，劃分的最大整數還可能為m，所以有f(n-m,m)種劃分

? ? ? ? ? ? ? b:不需要劃分最大整數為m，所以劃分的最大整數可能為m-1,即有f(n,m-1)種劃分

? ? ? ?綜上所述的轉移狀態方程：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 當?n==1或 m==1時

? ? ? ? ? ? ? f（n，m）=? ? ?f(n,n)? ? ? ? ? ?當n<m時

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1+f(n,m-1)? ?當n==m時

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f(n-m,m)+f(n,m-1)? ?當n>m時

python源代碼：

? #整數劃分問題 #假設整數n,能被劃分為i段n=a1+a2+...ai，其中ak為n中劃分的最大整數（ak<=n，k<=i）,其中{a1,a2...ai}是n的ak的一次劃分 #現在求整數n能夠劃分成多少種 def huafen(n,m): #n為整數，m為劃分的最大整數，m<=nif(n==1 or m==1):return 1elif n==m:return 1+huafen(n,m-1) elif(n<m):return huafen(n,n)else:return huafen(n,m-1)+huafen(n-m,m)a=[] t=0 def digui(sum,k,m,l):global aglobal tif(sum>l):returnelif(sum==l):t+=1print("第",t,"種：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=y a.append(y) #加入到a列表中digui(sum,k+1,y,l) #遞歸調用a.pop() #出列表，恢復現場，回溯sum-=y #恢復現場，回溯def main():print("請輸入一個整數：")v=int(input())p=huafen(v,v)print("該整數的劃分一共有"+str(p)+"種")print("所有的劃分如下：")digui(0,0,v,v)main()?

運行結果如下：

二.變形1

如果限制每一個劃分的整數不能一樣，即劃分的每一個整數不同? ，則又有多少種劃分呢？

其實我們只需在原問題進行修改即可：

①當m==1時，我們需要設置{1，1，1，....1}為0種

②當n>m時，我們需要修改的是當需要選取最大整數m時? ，我們將最大值m-1,即f(n-m,m-1)?種

其余的不需要修改? ?

pythoon源碼：

#整數劃分變形問題 def huafen(n,m): #n為整數，m為劃分的最大整數，m<=nif(n==1):return 1elif(m==1): #當m==1時，設置1，1，1.....1}為0種return 0elif n==m:return 1+huafen(n,m-1)elif(n<m):return huafen(n,n)else:return huafen(n,m-1)+huafen(n-m,m-1) #使下次劃分的整數小于上次的劃分的最大整數a=[] t=0 def digui(sum,k,m,l):global aglobal tif(sum>l):returnelif(sum==l):t+=1print("第",t,"種：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=ya.append(y)digui(sum,k+1,y-1,l) #這里需要將下一次的最大劃分整數修改為上一次劃分最大整數-1，不能與上一次相同a.pop()sum-=ydef main():print("請輸入一個整數：")v=int(input())p=huafen(v,v)print("該整數的劃分一共有"+str(p)+"種")print("所有的劃分如下：")digui(0,0,v,v) main()

運行結果如下：

三.變形2

如果限制每次劃分的整數的個數?，則又有多少種劃分呢？（類似與盤子分蘋果問題）

（其中n為整數，每次劃分只能劃分為m個數）

分析：①當m==1時，只有一種劃分，即{n}

? ? ? ? ? ?②當n<m時，由于劃分的整數不可能為負數和小數，則劃分不盡，所以為0

? ? ? ? ? ?③當n==m時，也是只有一種劃分。即{1，1，1，1...1}

? ? ? ? ? ?④當n>m時，根據劃分的整數中是否包含1，可以分為兩種情況：

? ? ? ? ? ? ? ? ?a:劃分的整數中至少有一個1，則在n-1中繼續劃分為m-1份，即f(n-1,m-1)種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ?b:劃分的整數中沒有1，所以m個部分劃分的整數必須都大于1，所以先給m個部分設為1，接著將剩余的n-m整數對m個部分分別加數，即要保證m個部分均大于1，即n-m>=m,則總共有f(n-m,m)種;如果n-m<m,則f(n-m,m)為0，所以條件②不能省略

? ? ? ? ? 綜上所述方程：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 當m==1 或者 n==m 時

? ? ? ? ? ? ?f( n,m) =? ? 0? ?當m>n時

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f（n-1,m-1）+f(n-m,m)? ? 當n>m時

python源代碼：

#整數劃分變形問題 def huafen(n,m): #n為整數，m為每次劃分的整數個數if(m==1 or n==m):return 1elif(m>n): #當m>n時return 0else:return huafen(n-1,m-1)+huafen(n-m,m) #選取至少有一個1和不選取1的種數 a=[] t=0 def digui(sum,k,m,l,q):global aglobal tif(sum>l):returnelif(k==q and sum==l):t+=1print("第",t,"種：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=ya.append(y)digui(sum,k+1,y,l,q) a.pop()sum-=ydef main():v,g=map(int,input("請輸入兩個以空格隔開的數：").split()) #整數v,和每次劃分的整數個數gp=huafen(v,g) print("該整數的劃分一共有"+str(p)+"種")print("所有的劃分如下：")digui(0,0,v,v,g) main()

?運行結果如下：

?三.變形3? ?

? 如果n劃分成若干個奇正整數之和?,則這樣有多少種劃分？

?? ? ? （f(n,m)代表有多少種劃分，其中n為整數，m為不大于n的最大整數的劃分）

分析：①當m==1時，只有一種劃分，即{1，1,...1}

? ? ? ? ? ?②當m為奇數時：根據m和n的關系可以分成三種情況

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a.當n<m時，則有f(n,n)種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b.當n==m時，根據是否選取最大整數m，可以分成兩種情況

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*選取最大奇整數m,則只有一種劃分，即{m}

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *不選取最大奇整數m,則共有f(n,m-2)種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c.當n>m時，根據是否選取最大整數m，可以分成兩種情況

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *選取最大奇整數m,則共有f(n-m,m)種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *不選取最大奇整數m,則共有f(n,m-2)種劃分

? ? ? ? ? ?③當m為偶數時：根據m和n的關系可以分成三種情況：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a.當n<m時，可以分成兩類:（m為偶數，則m-1為最大奇數）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *當n<m-1時，則共有f(n,n)種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *當n==m-1時，則共有f（n，m-1）種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b.當n==m時，則共有f(n,m-1)種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c.當n>m時，根據是否選取最大奇整數m-1，可以分成兩種情況

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *選取最大奇整數m-1,則共有f(n-m+1,m-1)種劃分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *不選取最大奇整數m-1,則共有f(n,m-3)種劃分

python源代碼：

def huafen(n,m): #n為整數，huafen(n,m)代表：m為劃分的最大整數共有多少種，m<=nif(m==1): #若m==1return 1elif (m%2): #若m為奇數if(n<m): #n<mreturn huafen(n,n)elif(n==m): #是否選取最大奇整數mreturn 1+huafen(n,m-2)else: #是否選取最大奇整數mreturn huafen(n-m,m)+huafen(n,m-2)else: #若m為偶數if(n<m):if(n<m-1):return huafen(n,n)else:return huafen(n,m-1)elif(n==m):return huafen(n,m-1)else: #是否選取最大奇整數m-1return huafen(n-m+1,m-1)+huafen(n,m-3) a=[] t=0 def digui(sum,k,m,l):global aglobal tif(sum>l):returnelif(sum==l):flg=1for x in a: #在原問題答案的基礎下，挑選出整數全部都是偶數的列表if(x%2==0):flg=-1breakif(flg==1):t+=1print("第",t,"種：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=ya.append(y)digui(sum,k+1,y,l)a.pop()sum-=ydef main():print("請輸入一個整數：")v=int(input())p=huafen(v,v)print("該整數的劃分一共有"+str(p)+"種")print("所有的劃分如下：")digui(0,0,v,v) main()

運行結果如下：

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的整数划分递归相关问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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