連通圖 連通分量

1.無向圖連通性

對于一個無向圖，如果任意的節點i能夠通過一些邊到達節點j，則稱之為連通圖。

連通分量：無向圖G的一個極大連通子圖稱為G的一個連通分量（或連通分支）。連通圖只有一個連通分量，即其自身；非連通的無向圖有多個連通分量。

2.有向圖連通性

• 強連通圖：給定有向圖G=(V,E)，并且給定該圖G中的任意兩個節點u和v，如果節點u和節點v相互可達，即至少存在一條路徑可以由節點u開始，到終點節點v結束，那么就稱該有向圖G是強連通圖。
• 弱連通圖：若至少有一對節點不滿足單向連通，但去掉邊的方向后從無向圖的觀點看是連通圖，則G稱為弱連通圖。

圖直徑

圖中的任意兩兩節點之間的最短路徑的最大的值，即為圖直徑。

度中心性

$度中心性=\frac{N_{degree}}{n?1}$，n表示節點數量。

特征向量中心性Eigenvetor Centrality

對圖的鄰接矩陣，求出圖的特征值和特征向量。
上圖中可以看到v4節點的特征向量中心性比v3和v2節點的特征向量中心性大，雖然它們兩個節點的度都為2。原因是特征向量中心性不僅考慮了本節點的度，同時也考慮了鄰居節點的度。
一個節點的重要性既取決于其鄰居節點的數量（即該節點的度），也取決于其鄰居節點的重要性。

中介中心性Betweenness Centrality

以經過某個節點的最短路徑數目來刻畫節點重要性的指標。
$$Betweenness=\frac{經過該節點的最短路徑}{其余兩兩節點的最短路徑}$$

這個度量很有意思。這個有點像是我們身邊那種社交達人，我們認識的不少朋友可能都是通過他/她認識的，這個人起到了中介的作用。

中介中心性指的是一個結點擔任其它兩個結點之間最短路的橋梁的次數。一個結點充當“中介”的次數越高，它的中介中心度就越大。如果要考慮標準化的問題，可以用一個結點承擔最短路橋梁的次數除以所有的路徑數量。

連接中心性Closeness

$$Closeness=\frac{n?1}{節點到其他節點最短路徑之和}$$

對于了解圖論的朋友而言，最短路這個概念一定不陌生。我們設想一個實際生活中的場景，比如你要建一個大型的娛樂商場，你可能會希望周圍的顧客到達這個商場的距離都可以盡可能地短。這個就涉及到連接中心性的概念，連接中心性的值為路徑長度的倒數。

連接中心性需要考量每個結點到其它結點的最短路的平均長度。也就是說，對于一個結點而言，它距離其它結點越近，那么它的中心度越高。一般來說，那種需要讓盡可能多的人使用的設施，它的連接中心度一般是比較高的。

PageRank

包括邊的PageRank值和節點的PageRank。

HITS

舉例

代碼實現

import numpy as np import pandas as pd import networkx as nx np.set_printoptions(suppress=True) edges = pd.DataFrame() edges['sources'] = [0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 9, 1, 4, 4, 4, 6, 7, 5, 8, 9, 8] edges['targets'] = [1, 4, 4, 4, 6, 7, 5, 8, 9, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 9] edges['weights'] = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]G = nx.from_pandas_edgelist(edges, source='sources', target='targets') # degree print(nx.degree(G)) # 連通分量 print(list(nx.connected_components(G))) # 圖直徑 print(nx.diameter(G)) # 度中心性 print('度中心性', nx.degree_centrality(G)) # 特征向量中心性 print(np.array(nx.adjacency_matrix(G).todense())) eigenvalue, featurevector=np.linalg.eig(np.array(nx.adjacency_matrix(G).todense())) print('特征值', eigenvalue.tolist()) print('特征向量', featurevector.tolist()) print('特征向量中心性', nx.eigenvector_centrality(G)) # betweenness print('betweenness', nx.betweenness_centrality((G))) # closeness print('closeness', nx.closeness_centrality(G)) # pagerank print('pagerank', nx.pagerank(G)) # HITS print('HITS', nx.hits(G, tol=0.00001))

總結

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