聲明：該文章是博主閱讀《數(shù)學(xué)方法論選講》的讀書筆記。由于博主能力有限，中間有過錯之處希望大家給予批評指正，一起學(xué)習(xí)交流。

方法論（methodology）是把某種共同的發(fā)展規(guī)律和研究方法作為討論對象的一門學(xué)問。（英文:methodology一詞又譯為方法學(xué)，正如大家所知，各門科學(xué)都有方法論，數(shù)學(xué)自然也有它的方法論。

那什么是數(shù)學(xué)的方法論呢？

數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問。

也許會有人發(fā)牢騷了，研究數(shù)學(xué)都讓人頭疼了，怎么還有個研究數(shù)學(xué)方法論，還讓不讓人活了，簡直就是對智商的又一次萬點(diǎn)傷害啊。我想說其實(shí)不是這樣的，俗話說：磨刀不誤砍柴工。研究數(shù)學(xué)方法論是很有意思和意義的一件事。

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門工具性很強(qiáng)的科學(xué)，大家對其最深刻的印象就是高度的抽象性。為了有效地發(fā)展它、改進(jìn)它、應(yīng)用它或者把它很好的傳承下去，就需要對這門學(xué)科的發(fā)展規(guī)律、研究方法、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明等法則有所掌握。因此，了解方法論是非常有益且很有必要的。（數(shù)學(xué)方法論中的方法和原理是從數(shù)學(xué)發(fā)展史中總結(jié)歸納出來的，所以學(xué)習(xí)一點(diǎn)數(shù)學(xué)史還是很有必要的）

提出了方法論，根據(jù)我們從小到大看教材或老師講課的經(jīng)驗(yàn)，接下里就該是方法論有哪些？怎么劃分？

大體上分為兩類：宏觀的數(shù)學(xué)方法論和微觀的數(shù)學(xué)方法論。

宏觀的范疇：由于數(shù)學(xué)史是人類社會科學(xué)技術(shù)發(fā)展史的一個組成部分，數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大動力源泉與社會生產(chǎn)實(shí)踐及技術(shù)發(fā)展的客觀要求緊密相連，因此，數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的研究就屬于這個范疇。

微觀的范疇：在研究數(shù)學(xué)課題時，不考慮數(shù)學(xué)發(fā)展的外在推動力，專就數(shù)學(xué)內(nèi)部體系結(jié)構(gòu)中的特定問題來進(jìn)行分析研究。這樣的話，就需要考慮采用最有效的數(shù)學(xué)研究方法，需要懂得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)創(chuàng)造等各種法則，這些研究者個人必須遵循的方法與法則的研究就屬于這個范疇。

值得一提的是，在微觀的數(shù)學(xué)方法論中，歸納與類比方法是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要手段。十八、十九世紀(jì)有突出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家歐拉和高斯都曾發(fā)表過一些經(jīng)驗(yàn)之談，歐拉說過：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)”。高斯也提到過，他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)。

歸納法與類比法師數(shù)學(xué)方法論中最基本的方法之一，用好了能獲得新的成果，乃至完成重要發(fā)現(xiàn)。但要真正用好也不容易。首先，要有敏銳的觀察力，才能從眾多的特例中歸納總結(jié)出一般性命題來。“特例”有時是現(xiàn)成的，有時卻需要故意構(gòu)造出來。要用好類比法需要有較豐富的數(shù)學(xué)知識，知識面越廣，在數(shù)學(xué)思維中可用作類比推理的題材就越多，因而能形成普遍命題的機(jī)會（或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)一般真理的機(jī)會）也就越多。很難想象，知識面很窄的人能完成重大的發(fā)現(xiàn)。

當(dāng)然，形成的“普遍命題”在完成證明之前往往是一種猜想，因此，只有經(jīng)過嚴(yán)格證明之后才能成為確定的定理或論斷。所以數(shù)學(xué)史上許多杰出的數(shù)學(xué)集往往既是發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的能手，也是精干證明技巧的硬手。但是也有數(shù)學(xué)家是一種擅長數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，一種擅長論證。前者屬于“發(fā)散思維”，后者屬于“收斂思維”

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總結(jié)

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