RSA算法演绎
RSA是第一個也是使用的最廣發(fā)的公鑰加密算法，在1978年由R.Rivest、AdiShamir和Adleman三人發(fā)明，并以他們的名字命名。RSA算法的安全性基于大數(shù)因子分解的困難性，下面介紹一下它的基本原理：
1、生成公鑰和私鑰
(1) 選取兩個大素數(shù)：p和q；
(2)計算n=p*q；
(3)計算小于n并且與n互質(zhì)的整數(shù)的個數(shù)，即歐拉函數(shù)o(n) = (p - 1) * (q - 1)；
(4)隨機(jī)選擇加密密鑰e， 使1<e<o(n)， 且與o(n)互質(zhì)；
(5)最后，利用歐幾里得算法計算解密密鑰，使其滿足ed = 1(mod o(n))；
然后將(e, n)公開，即為公鑰PK，私人保存好d,即為私鑰SK;
2、加密
將明文m分解成等長數(shù)據(jù)塊m1，m2， ……，mi。加密時，按如下公式進(jìn)行計算即可：
ci=（mi）^ e（mod n），密文c則由c1，c2，……ci組成。
3、解密
與加密一樣，按如下公式進(jìn)行計算：
mi=（ci）^d（mod n），明文m則由m1，m2，……，mi組成。
以上就是RSA算法的公私鑰產(chǎn)生、加密和解密的過程。整個過程中，最難理解的部分應(yīng)是1.5中的求私鑰d,很多課本提到的都是歐幾里德算法，但并未具體的計算過程，下面本人就通過一個實例向大家介紹歐幾里德算法在RSA中的應(yīng)用。
例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公鑰和私鑰。
計算如下：
（1）n=pq=47*71=3337；
（2）?（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；
（3）隨機(jī)選取e=79（滿足與3220互質(zhì)的條件）；
（4）則私鑰d應(yīng)該滿足：79*d mod 3220 = 1；
那么這個式子（4）如何解呢？這里就要用到歐幾里得算法（又稱輾轉(zhuǎn)相除法），解法如下：
（a）式子（4）可以表示成79*d-3220*k=1（其中k為正整數(shù)）；
（b）將3220對79取模得到的余數(shù)60代替3220，則變?yōu)?9*d-60*k=1；
（c）同理，將79對60取模得到的余數(shù)19代替79，則變?yōu)?9*d-60*k=1；
（d）同理，將60對19取模得到的余數(shù)3代替60，則變?yōu)?9*d-3*k=1；
（e）同理，將19對3取模得到的余數(shù)1代替19，則變?yōu)閐-3*k=1；
當(dāng)d的系數(shù)最后化為1時，
令k=0，代入（e）式中，得d=1；
將d=1代入（d）式，得k=6；
將k=6代入（c）式，得d=19；
將d=19代入（b）式，得k=25；
將k=25代入（a）式，得d=1019，這個值即我們要求的私鑰d的最終值。
此時，我們即可得到公鑰PK=（e，n）={79，3337}，私鑰SK={1019，3337}，后面的加密和解密直接套相應(yīng)公式即可。
現(xiàn)在給個字符"C"，我們再來演繹如何加解密。
取質(zhì)數(shù)13和7
(1) n = 13*7 = 91
(2)o(n) = 12 * 6 = 72
(3)取72互質(zhì)的數(shù)：5
(4)則私鑰應(yīng)該滿足：5*d mod72=1
即：5 * d ?- 72 * K = 1 ---------------@2
將72 % 5得2替代72，則5*d - 2 * k = 1 ?-------------- @1
將5 % 2得1替代5，則d - 2 * k = 1
令k = 0, 得d = 1
將d = 1 代入@1中，則k = 2
將k = 2代入@2中， 則d = 29
此時，我們即可得到公鑰PK=（e，n）={5，?91}，私鑰SK={29，?91}
字符“C”對應(yīng)的ascii碼表值為67
67 * 67 ?mode??91= ?30
30 * 67 mode 91= ?8
?8 * 67 mode 91?= 81
81 * 67 mod 91 = 58
以此方式連續(xù)乘次數(shù)為5次(公鑰)，最后得到加密數(shù)值 58
若要解密這個數(shù)值58，以上述相同方式連續(xù)乘以自己29次，即可得到解密數(shù)值 67。
參考文章：
http://8btc.com/thread-1240-1-1.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4fcd1ea30100yh3a.html
總結(jié)
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