定義：一棵大根樹（小根樹）是這樣一棵樹，其中每一個節點的值都大小（小于）或等于其子節點（如果有子節點的話）的值。

一個大根堆（小根堆）既是大根樹（小根樹）也是完全二叉樹。

大根堆

小根堆

本篇主要實現大根堆的初始化，插入以及刪除操作。

在實現這些之前，先來簡單介紹一下大根堆類的主要數據成員：

私有成員變量：

heap：一維數組，用于存儲堆中的元素；

heapSize：整型變量，用于記錄堆中元素個數；

arrayLength：整形變量，用于記錄堆最大容量，即最多可以容納多少個元素；

公有成員函數：

initialize(T* ,int)：初始化最大堆，第一個形參為初始化的數組，第二個形參為元素個數；

remove(int)；刪除最大堆中特定元素；

push(const T&)；添加新元素；

私有成員函數：

changeArrayLength(T*, int)：當實際容量等于額定容量時，擴充額定容量；

adjust(T&,int, int)：用于調整堆結構的函數，插入刪除和初始化都會用到；

堆雖然也是二叉樹，但本例中沒有使用構建樹的方式（即用節點指針）來構建最大堆，而是用數組的方式存儲元素，這樣我們假設數組[1:heapSize]用來存儲堆元素，而對堆中元素進行調整的過程就是改變元素在數組中位置的過程。

另外需要明確的是，1是根節點的下標，heapSize/2是最后一個節點的父節點下標。

對于某一個節點下標n來說，如果2*n<=heapSize，則2*n是該節點左孩子的下標；

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如果2*n+1<=heapSize，則2*n+1是該節點右孩子的下標。

首先來看一下初始化操作的實現，傳入的參數為一維數組和元素個數。

步驟1：用參數的數組初始化堆中數組heap，用第二個參數初始化堆中元素個數heapSize；

步驟2：從最后一個節點的父節點開始（heapSize/2），一個個循環，每次循環結束節點索引減一。即第一次是heapSize/2，第二次則是heapSize/2-1，第三次是heapSize/2-2，一直循環到1。暫且叫步驟2為外層循環，該循環是逐個向上。每循環完一次都確保以該下標的節點為根節點的子樹是一個最大堆。

步驟3：在步驟2中的每一次循環中（內層循環），逐層向下索引，同時比較當前結點和其子節點的大小，將大節點作為子樹的根節點，將原先的根節點下移到子樹的位置。直到索引到達heapSize。與步驟2不同，步驟3是逐層向下索引，即某一次索引為n，則下一次是2*n。

template<class T> void maxHeap<T>::initialize(T* theHeap, int theSize) {delete[] heap; //刪除堆中原先的元素heap = theHeap; //指針賦值，將參數中數組的元素賦值給堆heapSize = theSize; //元素個數賦值//執行循環，從最后一個節點的父節點開始，逐個向上，外層循環for(int root = heapSize/2; root >= 1; --root) {T theElement = heap[root]; //保存外層循環的當前結點，每次都可以理解為給這個值找位置。//內層循環開始，給theElement找位置，將大的上移，大節點原先的位置變成空位置。int currentNode = root; //始終是空位置的下標，也是child下標的父節點位置int child = 2*root; //當前結點左孩子下標while(child <= heapSize){if(child < heapSize && heap[child+1] > heap[child])++child; //令child指向值較大的孩子//如果theElement比兩個孩子都大，那么就證明找到位置if(theElement > heap[child])break;//如果沒有找到，將大的節點放在空位置上，大節點原先的位置變為空位置heap[currentNode] = heap[child];current = child;//更新孩子下標，繼續向下尋找位置child *= 2; }}//找到位置，將theElement放在空位置上heap[currentNode] = theElement; }

接下來是插入操作，參數是要插入的值theElement，原理同初始化一樣，也是為theElement找位置，只是開始的位置不是heapSize/2，而是(++heapSize)/2。此時空位置是heapSize。

步驟1：檢查數組容量，如果數組滿了，則需要擴充數組大小。

步驟2：堆元素個數加一。

步驟3：比較theElement和當前節點大小，如果theElement大，則把當前結點移動到空位置上，把該節點原先的位置設為空位置。繼續向上尋找。

template<class T> void maxHeap<T>::push(const T& theElement) {//檢測堆是否已滿，若滿則需要擴充if(heapSize == arrayLength - 1){changeArrayLength(heap, 2*heapSize);heapSize *= 2;}int currentNode = ++heapSize; //堆元素個數加一，空位置為末尾下標//從下到上一層一層比較，把小節點下移，空位置上移。//直到空位置的父節點比theElement大，子節點比theElement小while(currentNode != 1 && heap[currentNode/2] < theElement){heap[currentNode] = heap[currentNode/2];currentNode /= 2;}heap[currentNode] = theElement; }

最后是刪除操作，參數是要刪除的下標索引。刪除后，以該位置為根節點的子樹已經不是最大堆，只需要對這一小部分進行調整。

原理依舊相同，把要刪除的那個下標設為空位置。逐層向下尋找位置，把大節點上移，空位值下移。

步驟1：取出末尾下標的元素theElement，并將堆元素個數減一。

步驟2：在以刪除節點為根節點的子樹中為theElement找位置。

template<class T> T maxHeap<T>::remove(int index) {//判斷下標是否合法if(index < 1 || index > heapSize)throw heapError("Error: the index is illegal"); T theElement = heap[heapSize--]; //取出最后一個元素，同時元素個數減一int currentNode = index; //始終指向空位置，也是child的父節點int child = 2 * index; while(child <= heapSize){//令child是較大孩子的下標if(child < heapSize && heap[child+1] > heap[child])child++;//如果theElement大，則說明找到位置存放theElement了if(theElement > heap[child])return;//若沒找到，繼續向下尋找heap[currentNode] = heap[child];currentNode = child;child *= 2;}heap[currentNode] = theElement;return theElement; }

另外因為初始化和刪除操作中while循環中的部分相同，可以單獨抽出來作為一個私有成員函數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构-----最大堆的实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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