思路：由于p為任意可逆矩陣，范圍較大不便于研究，我們可從最簡單的可逆矩陣E（i，j），E（i（k）），E（i，j（k））入手（下面證明只需用前兩種初等矩陣）
從初等矩陣入手，是因為任意可逆矩陣p都能化為一些初等矩陣之積
基礎(chǔ)知識：
左乘一個初等矩陣相當于做行變換，右乘一個初等矩陣相當于做列變換

證明：
設(shè)B=Ap，C=pA
1<=i<j<=n ，當p為E（i，j）時
bii=aij，cii=aji，推出A為對稱矩陣
Bij=aii，Cij=ajj
Bij=Cij
由i，j的任意性
可推a11=…=ann
B[(i,j+1),…,(i,n)]=(ai（j+1），…，ain)
C[(j,j+1),…,(j,n)]=(aj（j+1），…，ajn)
因為B[j+1,…,n]= C[j+1,…,n]
又因為i，j的任意性
可推
i<j，aij=akj，1<=kj，aij=aik，1<=k<i
因為A為對稱矩陣
所以有aij=jk，1<i，k<j

1<=i<=n ，當p為E（i（k））時
為了便于計算，將k設(shè)為-1
B[(i,1),…,(i,i)]=-(ai1，…，aii)
C[(1,i),…,(i,i)]=(a1i，…，aii)
ai1=-a1i
…
ai（i-1）=- a（i-1）i
A為對稱矩陣，ai1=a1i
由i的任意性
可推aij=0，i！=j

綜上可得
p為前兩種初等矩陣時，A為數(shù)量矩陣
將p擴大到任意可逆矩陣
滿足條件的矩陣A一定是數(shù)量矩陣
但A不一定包含所有數(shù)量矩陣
于是將A=k·I代入原式
發(fā)現(xiàn)任意數(shù)量矩陣都滿足原式
所以A包含任意數(shù)量矩陣
綜上所述
A為任意數(shù)量矩陣

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵A对任意的可逆矩阵p都有Ap=pA，证明A为数量矩阵的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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