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題目大意：給出一個n，求

題目分析：因為N到了二的三十二次方，所以直接暴力肯定會T，這里介紹兩種方法，都可以做實現這個題目

首先我們需要轉化一下這個題目，先說一下優化過后的暴力枚舉的方法：

假設GCD(i,N)=g，那么有GCD(i/g,N/g)=1，則根據歐拉函數可知，一共有φ(N/g)個i滿足條件，所以答案就是，枚舉即可，時間復雜度為sqrt(n)

第二種方法是利用了GCD函數是積性函數，也就是GCD(i*j,N)=GCD(i,N)*GCD(j,N)，這樣一來，我們就可以用唯一分解定理將n分解一下，首先我們在上面已經推出了，接下來我們將n分解為，這樣我們就可以對于每個素因子進行操作了，我們再推導一下公式，將帶入函數f：

對了在這里補充一下，若n是質數p的k次冪，則

推導完畢，當然不是我推的。。是看網上大佬推出來后自己才會推的，接下來實現公式即可

上代碼：

枚舉優化：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<string> #include<ctime> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<queue> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=110;LL Euler(LL n)//歐拉函數 {LL ans=n;for(LL i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}}if(n>1)ans=ans/n*(n-1);return ans; }int main() { // freopen("input.txt","r",stdin);LL n;while(scanf("%lld",&n)!=EOF){LL ans=0;for(LL i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans+=Euler(n/i)*i;if(i*i<n)ans+=Euler(i)*(n/i);}}printf("%lld\n",ans);}return 0; }

積性函數：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<string> #include<ctime> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<queue> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=110;int main() { // freopen("input.txt","r",stdin);LL n;while(scanf("%lld",&n)!=EOF){LL ans=1;for(LL i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){LL num=0;LL f=1;while(n%i==0){num++;f*=i;n/=i;}ans*=(num+1)*f-num*(f/i);}}if(n!=1)ans*=2*n-1;printf("%lld\n",ans);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ - 2480 Longge's problem(欧拉函数+唯一分解定理)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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