清空/分割游戲也叫做Ferguson博弈。

進行游戲需要用到兩個盒子，在游戲的開始，第一個盒子中有n枚石子，第二個盒子中有m個石子(n, m > 0)。參與游戲的

兩名玩家輪流執行這樣的操作：清空一個盒子中的石子，然后從另一個盒子中拿若干石子到被清空的盒子中，使得最后兩個

盒子都不空。當兩個盒子中都只有一枚石子時，游戲結束。最后成功執行操作的玩家獲勝。找出游戲中所有的P位置。

結論：對于一個位置(x, y)來說，如果x, y中有一個偶數，那么(x, y)是N（必勝）位置。如果x和y都是奇數，那么

(x,?y)是P位置（必敗），可以用數學歸納法證明。

證明：

證明結論：(x,y)至少一偶時，先手勝；都為奇時，先手敗

證明：

(x,y)=(1,1)時是先手必敗態，下對max(x,y)>1進行歸納

1、當max(x,y)=2時，即(x,y)=(1,2)或（2,1）或（2,2），先手留下一個2分為（1,1），先手獲勝。

即當max(x,y)=2時結論成立。

2、假設max(x,y)<k時結論都成立，現證max(x,y)=k時結論成立。

若（x,y)中有一個偶數(設為a)，先手將另一個清空，把偶數a分為兩個奇數b和c，由于b、c<a 小于等于 k，即

max(b,c)<k,由假設，在（b,c)位置上后手作為新先手必敗，故先手勝。

若(x,y)都為奇數，先手只能保留一個奇數并將其分解為一奇a一偶b,由于max(a,b)<max(x,y)=k,由假設，在（a,b)位

置上后手作為新先手必勝，故先手敗。

經典題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147

題目：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3714

題意：本題與清空/分割游戲不同的是，每次清空球較少的那個盒子，而清空/分割游戲是清空任意一個盒子，不管球的個數多少，其它條

件都相同。

分析：本題就是找規律，可以發現就是判斷n+1是否是2的整數次冪，那么用(n & ( n + 1 )) == 0來判斷就行了。

暴力程序：

#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std; const int N = 105;bool dp[N][N]; bool vis[N][N];bool dfs(int n,int m) {if(n == 1 && m == 1) return 0;if(vis[n][m]) return dp[n][m];for(int i=1; i<=n/2; i++){dp[n-i][i] = dfs(n-i,i);vis[n-i][i] = 1;}for(int i=1; i<=n/2; i++)if(!dp[n-i][i]) return 1;return 0; }int main() {memset(dp,0,sizeof(dp));memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<65;i++)cout<<dfs(i,1)<<" ";cout<<endl;return 0; }

結論：如果(n & (n + 1)) == 0，那么先手敗，否則先手勝。

#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std;int main() {int n;while(cin>>n){if(n == 0) break;if((n & (n + 1)) == 0) puts("Bob");else puts("Alice");}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Ferguson博弈的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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