定理：

設gcd(a,m)=1，必有正整數x，使得a^x=1(mod m),且設滿足等式的最小正整數為x0，必滿足x0|phi（m）.注意m>1.

否則如果gcd(a,m)!=1，則方程a^x=1(mod m)沒有解。

典型題目：HDU1395，HDU3307，POJ3696

前面兩題很簡單，下面我們來分析POJ3696.

題目：The Luckiest number

題意：求出由全8組成的數的最短長度，使得給定的L能整除它。

分析：先分析公式，可以發現一個全由A組成的數的表示形式為：，所以全8組成的數為：。

L能整除它，則有：，亦即：，則應該先約去8與9L的最大公約數。

因為8與9互素，所以實際上就是約去8與L的最大公約數。

所以進一步有：，然后就是上面的那個定理了。

#include <iostream> #include <string.h> #include <algorithm> #include <stdio.h>using namespace std; typedef long long LL;LL dp[1000005];LL gcd(LL a,LL b) {return b? gcd(b,a%b):a; }LL phi(LL n) {LL rea=n,i;for(i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){rea=rea-rea/i;while(n%i==0) n/=i;}}if(n>1)rea=rea-rea/n;return rea; }LL multi(LL a,LL b,LL m) {LL ans=0;while(b){if(b&1){ans=(ans+a)%m;b--;}b>>=1;a=(a+a)%m;}return ans; }LL quick_mod(LL a,LL b,LL m) {LL ans=1;a%=m;while(b){if(b&1){ans=multi(ans,a,m);b--;}b>>=1;a=multi(a,a,m);}return ans; }int main() {int k=1;LL L,i,m;while(cin>>L){if(L==0) break;printf("Case %d: ",k++);m=9*L/gcd(8,L);if(gcd(10,m)!=1){puts("0");continue;}LL ans=phi(m);LL size=0;for(i=1;i*i<=ans;i++){if(ans%i==0){dp[size++]=i;if(ans!=i*i) dp[size++]=ans/i;}}sort(dp,dp+size);for(i=0;i<size;i++)if(quick_mod(10,dp[i],m)==1) break;cout<<dp[i]<<endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于方程a^x=1(mod m)的最小x解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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