A* 寻路算法
概述
雖然掌握了?A*?算法的人認為它容易，但是對于初學者來說，?A*?算法還是很復雜的。
搜索區域(The Search Area)
我們假設某人要從?A?點移動到?B?點，但是這兩點之間被一堵墻隔開。如圖?1?，綠色是?A?，紅色是?B?，中間藍色是墻。
圖?1
你應該注意到了，我們把要搜尋的區域劃分成了正方形的格子。這是尋路的第一步，簡化搜索區域，就像我們這里做的一樣。這個特殊的方法把我們的搜索區域簡化為了?2?維數組。數組的每一項代表一個格子，它的狀態就是可走?(walkalbe)?和不可走?(unwalkable)?。通過計算出從?A?到?B?需要走過哪些方格，就找到了路徑。一旦路徑找到了，人物便從一個方格的中心移動到另一個方格的中心，直至到達目的地。
方格的中心點我們成為“節點?(nodes)?”。如果你讀過其他關于?A*?尋路算法的文章，你會發現人們常常都在討論節點。為什么不直接描述為方格呢？因為我們有可能把搜索區域劃為為其他多變形而不是正方形，例如可以是六邊形，矩形，甚至可以是任意多變形。而節點可以放在任意多邊形里面，可以放在多變形的中心，也可以放在多邊形的邊上。我們使用這個系統，因為它最簡單。
開始搜索(Starting the Search)
一旦我們把搜尋區域簡化為一組可以量化的節點后，就像上面做的一樣，我們下一步要做的便是查找最短路徑。在?A*?中，我們從起點開始，檢查其相鄰的方格，然后向四周擴展，直至找到目標。
我們這樣開始我們的尋路旅途：
1.???????從起點?A?開始，并把它就加入到一個由方格組成的?open list(?開放列表?)?中。這個?open list?有點像是一個購物單。當然現在?open list?里只有一項，它就是起點?A?，后面會慢慢加入更多的項。?Open list?里的格子是路徑可能會是沿途經過的，也有可能不經過。基本上?open list?是一個待檢查的方格列表。
2.???????查看與起點?A?相鄰的方格?(?忽略其中墻壁所占領的方格，河流所占領的方格及其他非法地形占領的方格?)，把其中可走的?(walkable)?或可到達的?(reachable)?方格也加入到?open list?中。把起點?A?設置為這些方格的父親?(parent node?或?parent square)?。當我們在追蹤路徑時，這些父節點的內容是很重要的。稍后解釋。
3.???????把?A?從?open list?中移除，加入到?close list(?封閉列表?)?中，?close list?中的每個方格都是現在不需要再關注的。
如下圖所示，深綠色的方格為起點，它的外框是亮藍色，表示該方格被加入到了?close list?。與它相鄰的黑色方格是需要被檢查的，他們的外框是亮綠色。每個黑方格都有一個灰色的指針指向他們的父節點，這里是起點A?。
圖?2?。
下一步，我們需要從?open list?中選一個與起點?A?相鄰的方格，按下面描述的一樣或多或少的重復前面的步驟。但是到底選擇哪個方格好呢？具有最小?F?值的那個。
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路徑排序(Path Sorting)
計算出組成路徑的方格的關鍵是下面這個等式：
F = G + H
這里，
G =?從起點?A?移動到指定方格的移動代價，沿著到達該方格而生成的路徑。
H =?從指定的方格移動到終點?B?的估算成本。這個通常被稱為試探法，有點讓人混淆。為什么這么叫呢，因為這是個猜測。直到我們找到了路徑我們才會知道真正的距離，因為途中有各種各樣的東西?(?比如墻壁，水等?)。本教程將教你一種計算?H?的方法，你也可以在網上找到其他方法。
我們的路徑是這么產生的：反復遍歷?open list?，選擇?F?值最小的方格。這個過程稍后詳細描述。我們還是先看看怎么去計算上面的等式。
如上所述，?G?是從起點Ａ移動到指定方格的移動代價。在本例中，橫向和縱向的移動代價為?10?，對角線的移動代價為?14?。之所以使用這些數據，是因為實際的對角移動距離是?2?的平方根，或者是近似的?1.414?倍的橫向或縱向移動代價。使用?10?和?14?就是為了簡單起見。比例是對的，我們避免了開放和小數的計算。這并不是我們沒有這個能力或是不喜歡數學。使用這些數字也可以使計算機更快。稍后你便會發現，如果不使用這些技巧，尋路算法將很慢。
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既然我們是沿著到達指定方格的路徑來計算?G?值，那么計算出該方格的?G?值的方法就是找出其父親的?G?值，然后按父親是直線方向還是斜線方向加上?10?或?14?。隨著我們離開起點而得到更多的方格，這個方法會變得更加明朗。
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有很多方法可以估算?H?值。這里我們使用?Manhattan?方法，計算從當前方格橫向或縱向移動到達目標所經過的方格數，忽略對角移動，然后把總數乘以?10?。之所以叫做?Manhattan?方法，是因為這很像統計從一個地點到另一個地點所穿過的街區數，而你不能斜向穿過街區。重要的是，計算?H?是，要忽略路徑中的障礙物。這是對剩余距離的估算值，而不是實際值，因此才稱為試探法。
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把?G?和?H?相加便得到?F?。我們第一步的結果如下圖所示。每個方格都標上了?F?，?G?，?H?的值，就像起點右邊的方格那樣，左上角是?F?，左下角是?G?，右下角是?H?。
圖?3
好，現在讓我們看看其中的一些方格。在標有字母的方格，?G = 10?。這是因為水平方向從起點到那里只有一個方格的距離。與起點直接相鄰的上方，下方，左方的方格的?G?值都是?10?，對角線的方格?G?值都是?14?。
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H?值通過估算起點于終點?(?紅色方格?)?的?Manhattan?距離得到，僅作橫向和縱向移動，并且忽略沿途的墻壁。使用這種方式，起點右邊的方格到終點有?3?個方格的距離，因此?H = 30?。這個方格上方的方格到終點有?4?個方格的距離?(?注意只計算橫向和縱向距離?)?，因此?H = 40?。對于其他的方格，你可以用同樣的方法知道?H?值是如何得來的。
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每個方格的?F?值，再說一次，直接把?G?值和?H?值相加就可以了。
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繼續搜索(Continuing the Search)
為了繼續搜索，我們從?open list?中選擇?F?值最小的?(?方格?)?節點，然后對所選擇的方格作如下操作：
4.???????把它從?open list?里取出，放到?close list?中。
5.???????檢查所有與它相鄰的方格，忽略其中在?close list?中或是不可走?(unwalkable)?的方格?(?比如墻，水，或是其他非法地形?)?，如果方格不在?open lsit?中，則把它們加入到?open list?中。
把我們選定的方格設置為這些新加入的方格的父親。
6.???????如果某個相鄰的方格已經在?open list?中，則檢查這條路徑是否更優，也就是說經由當前方格?(?我們選中的方格?)?到達那個方格是否具有更小的?G?值。如果沒有，不做任何操作。
相反，如果?G?值更小，則把那個方格的父親設為當前方格?(?我們選中的方格?)?，然后重新計算那個方格的F?值和?G?值。如果你還是很混淆，請參考下圖。
圖?4
Ok?，讓我們看看它是怎么工作的。在我們最初的?9?個方格中，還有?8?個在?open list?中，起點被放入了close list?中。在這些方格中，起點右邊的格子的?F?值?40?最小，因此我們選擇這個方格作為下一個要處理的方格。它的外框用藍線打亮。
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首先，我們把它從?open list?移到?close list?中?(?這就是為什么用藍線打亮的原因了?)?。然后我們檢查與它相鄰的方格。它右邊的方格是墻壁，我們忽略。它左邊的方格是起點，在?close list?中，我們也忽略。其他?4個相鄰的方格均在?open list?中，我們需要檢查經由這個方格到達那里的路徑是否更好，使用?G?值來判定。讓我們看看上面的方格。它現在的?G?值為?14?。如果我們經由當前方格到達那里，?G?值將會為?20(?其中?10?為到達當前方格的?G?值，此外還要加上從當前方格縱向移動到上面方格的?G?值?10)?。顯然?20?比?14大，因此這不是最優的路徑。如果你看圖你就會明白。直接從起點沿對角線移動到那個方格比先橫向移動再縱向移動要好。
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當把?4?個已經在?open list?中的相鄰方格都檢查后，沒有發現經由當前方格的更好路徑，因此我們不做任何改變。現在我們已經檢查了當前方格的所有相鄰的方格，并也對他們作了處理，是時候選擇下一個待處理的方格了。
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因此再次遍歷我們的?open list?，現在它只有?7?個方格了，我們需要選擇?F?值最小的那個。有趣的是，這次有兩個方格的?F?值都?54?，選哪個呢？沒什么關系。從速度上考慮，選擇最后加入?open list?的方格更快。這導致了在尋路過程中，當靠近目標時，優先使用新找到的方格的偏好。但是這并不重要。?(?對相同數據的不同對待，導致兩中版本的?A*?找到等長的不同路徑?)?。
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我們選擇起點右下方的方格，如下圖所示。
圖?5
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這次，當我們檢查相鄰的方格時，我們發現它右邊的方格是墻，忽略之。上面的也一樣。
我們把墻下面的一格也忽略掉。為什么？因為如果不穿越墻角的話，你不能直接從當前方格移動到那個方格。你需要先往下走，然后再移動到那個方格，這樣來繞過墻角。?(?注意：穿越墻角的規則是可選的，依賴于你的節點是怎么放置的?)
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這樣還剩下?5?個相鄰的方格。當前方格下面的?2?個方格還沒有加入?open list?，所以把它們加入，同時把當前方格設為他們的父親。在剩下的?3?個方格中，有?2?個已經在?close list?中?(?一個是起點，一個是當前方格上面的方格，外框被加亮的?)?，我們忽略它們。最后一個方格，也就是當前方格左邊的方格，我們檢查經由當前方格到達那里是否具有更小的?G?值。沒有。因此我們準備從?open list?中選擇下一個待處理的方格。
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不斷重復這個過程，直到把終點也加入到了?open list?中，此時如下圖所示。
圖?6
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注意，在起點下面?2?格的方格的父親已經與前面不同了。之前它的?G?值是?28?并且指向它右上方的方格。現在它的?G?值為?20?，并且指向它正上方的方格。這在尋路過程中的某處發生，使用新路徑時?G?值經過檢查并且變得更低，因此父節點被重新設置，?G?和?F?值被重新計算。盡管這一變化在本例中并不重要，但是在很多場合中，這種變化會導致尋路結果的巨大變化。
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那么我們怎么樣去確定實際路徑呢？很簡單，從終點開始，按著箭頭向父節點移動，這樣你就被帶回到了起點，這就是你的路徑。如下圖所示。從起點?A?移動到終點?B?就是簡單從路徑上的一個方格的中心移動到另一個方格的中心，直至目標。就是這么簡單！
圖?7
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A*算法總結(Summary of the A* Method)
Ok?，現在你已經看完了整個的介紹，現在我們把所有步驟放在一起：
1.?????????把起點加入?open list?。
2.?????????重復如下過程：
a.?????????遍歷?open list?，查找?F?值最小的節點，把它作為當前要處理的節點。
b.?????????把這個節點移到?close list?。
c.?????????對當前方格的?8?個相鄰方格的每一個方格？
◆?????如果它是不可抵達的或者它在?close list?中，忽略它。否則，做如下操作。
◆?????如果它不在?open list?中，把它加入?open list?，并且把當前方格設置為它的父親，記錄該方格的F?，?G?和?H?值。
◆?????如果它已經在?open list?中，檢查這條路徑?(?即經由當前方格到達它那里?)?是否更好，用?G?值作參考。更小的?G?值表示這是更好的路徑。如果是這樣，把它的父親設置為當前方格，并重新計算它的?G?和?F?值。如果你的?open list?是按?F?值排序的話，改變后你可能需要重新排序。
d.?????????停止，當你
◆?????把終點加入到了?open list?中，此時路徑已經找到了，或者
◆?????查找終點失敗，并且?open list?是空的，此時沒有路徑。
3.?????????保存路徑。從終點開始，每個方格沿著父節點移動直至起點，這就是你的路徑。
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題外話(Small Rant)
請原諒我的離題，當你在網上或論壇上看到各種關于?A*?算法的討論時，你偶爾會發現一些?A*?的代碼，實際上他們不是。要使用?A*?，你必須包含上面討論的所有元素?----?尤其是?open list?，?close list?和路徑代價?G?，?H和?F?。也有很多其他的尋路算法，這些算法并不是?A*?算法，?A*?被認為是最好的。在本文末尾引用的一些文章中?Bryan Stout?討論了他們的一部分，包括他們的優缺點。在某些時候你可以二中擇一，但你必須明白自己在做什么。?Ok?，不廢話了。回到文章。
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實現的注解(Notes on Implemetation)
現在你已經明白了基本方法，這里是你在寫自己的程序是需要考慮的一些額外的東西。下面的材料引用了一些我用?C++?和?Basic?寫的程序，但是對其他語言同樣有效。
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1.????維護?Open List?：這是?A*?中最重要的部分。每次你訪問?Open list?，你都要找出具有最小????F?值的方格。有幾種做法可以做到這個。你可以隨意保存路徑元素，當你需要找到具?????有最小?F?值的方格時，遍歷整個?open list?。這個很簡單，但對于很長的路徑會很慢。這個方法可以通過維護一個排好序的表來改進，每次當你需要找到具有最小?F?值的方格時，僅取出表的第一項即可。我寫程序時，這是我用的第一個方法。
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???????對于小地圖，這可以很好的工作，但這不是最快的方案。追求速度的?A*?程序員使用了叫做二叉堆的東西，我的程序里也用了這個。以我的經驗，這種方法在多數場合下會快?2—3?倍，對于更長的路徑速度成幾何級數增長?(10?倍甚至更快?)?。如果你想更多的了解二叉堆，請閱讀?Using Binary Heaps in A* Pathfinding?。
2.???????其他單位：如果你碰巧很仔細的看了我的程序，你會注意到我完全忽略了其他單位。我的尋路者實際上可以互相穿越。這取決于游戲，也許可以，也許不可以。如果你想考慮其他單位，并想使他們移動時繞過彼此，我建議你的尋路程序忽略它們，再寫一些新的程序來判斷兩個單位是否會發生碰撞。如果發生碰撞，你可以產生一個新的路徑，或者是使用一些標準的運動法則（比如永遠向右移動，等等）直至障礙物不在途中，然后產生一個新的路徑。為什么在計算初始路徑是不包括其他單位呢？因為其他單位是可以動的，當你到達的時候它們可能不在自己的位置上。這可以產生一些怪異的結果，一個單位突然轉向來避免和一個已不存在的單位碰撞，在它的路徑計算出來后和穿越它路徑的那些單位碰撞了。
在尋路代碼中忽略其他單位，意味著你必須寫另一份代碼來處理碰撞。這是游戲的細節，所以我把解決方案留給你。本文末尾引用的?Bryan Stout's?的文章中的幾種解決方案非常值得了解。
3.???????一些速度方面的提示：如果你在開發自己的?A*?程序或者是改編我寫的程序，最后你會發現尋路占用了大量的?CPU?時間，尤其是當你有相當多的尋路者和一塊很大的地圖時。如果你閱讀過網上的資料，你會發現就算是開發星際爭霸，帝國時代的專家也是這樣。如果你發現事情由于尋路而變慢了，這里有些主意很不錯：
◆?????使用小地圖或者更少的尋路者。
◆?????千萬不要同時給多個尋路者尋路。取而代之的是把它們放入隊列中，分散到幾個游戲周期中。如果你的游戲以每秒?40?周期的速度運行，沒人能察覺到。但是如果同時有大量的尋路者在尋路的話，他們會馬上就發現游戲慢下來了。
◆?????考慮在地圖中使用更大的方格。這減少了尋路時需要搜索的方格數量。如果你是有雄心的話，你可以設計多套尋路方案，根據路徑的長度而使用在不同場合。這也是專業人士的做法，對長路徑使用大方格，當你接近目標時使用小方格。如果你對這個有興趣，請看?Two-Tiered A* Pathfinding?。
◆?????對于很長的路徑，考慮使用路徑點系統，或者可以預先計算路徑并加入游戲中。
◆?????預先處理你的地圖，指出哪些區域是不可到達的。這些區域稱為“孤島”。實際上，他們可以是島嶼，或者是被墻壁等包圍而不可到達的任意區域。?A*?的下限是，你告訴他搜尋通往哪些區域的路徑時，他會搜索整個地圖，直到所有可以抵達的方格都通過?open list?或?close list?得到了處理。這會浪費大量的?CPU?時間。這可以通過預先設定不可到達的區域來解決。在某種數組中記錄這些信息，在尋路前檢查它。在我的?Blitz?版程序中，我寫了個地圖預處理程序來完成這個。它可以提前識別尋路算法會忽略的死路徑，這又進一步提高了速度。
4.????不同的地形損耗：在這個教程和我的程序中，地形只有?2?種：可抵達的和不可抵達????????的。但是如果你有些可抵達的地形，移動代價會更高些，沼澤，山丘，地牢的樓梯
???????等都是可抵達的地形，但是移動代價比平地就要高。類似的，道路的移動代價就比????????它周圍的地形低。
在你計算給定方格的?G?值時加上地形的代價就很容易解決了這個問題。簡單的給這些方格加上一些額外的代價就可以了。?A*?算法用來查找代價最低的路徑，應該很容易處理這些。在我的簡單例子中，地形只有可達和不可達兩種，?A*?會搜尋最短和最直接的路徑。但是在有地形代價的環境中，代價最低的的路徑可能會很長。
就像沿著公路繞過沼澤而不是直接穿越它。
另一個需要考慮的是專家所謂的“?influence Mapping?”，就像上面描述的可變成本地形一樣，你可以創建一個額外的計分系統，把它應用到尋路的?AI?中。假設你有這樣一張地圖，地圖上由個通道穿過山丘，有大批的尋路者要通過這個通道，電腦每次產生一個通過那個通道的路徑都會變得很擁擠。如果需要，你可以產生一個?influence map?，它懲罰那些會發生大屠殺的方格。這會讓電腦選擇更安全的路徑，也可以幫助它避免因為路徑短（當然也更危險）而持續把隊伍或尋路者送往某一特定路徑。
5.????維護未探測的區域：你玩?PC?游戲的時候是否發現電腦總是能精確的選擇路徑，甚至地圖都未被探測。對于游戲來說，尋路過于精確反而不真實。幸運的是，這個問題很容易修正。答案就是為每個玩家和電腦（每個玩家，不是每個單位?---?那會浪費很多內存）創建一個獨立的?knownWalkability?數組。每個數組包含了玩家已經探測的區域的信息，和假設是可到達的其他區域，直到被證實。使用這種方法，單位會在路的死端徘徊，并會做出錯誤的選擇，直到在它周圍找到了路徑。地圖一旦被探測了，尋路又向平常一樣工作。
6.????平滑路徑：?A*?自動給你花費最小的，最短的路徑，但它不會自動給你最平滑的路徑。看看我們的例子所找到的路徑（圖?7?）。在這條路徑上，第一步在起點的右下方，如果第一步在起點的正下方是不是路徑會更平滑呢？
???????有幾個方法解決這個問題。在你計算路徑時，你可以懲罰那些改變方向的方格，把它的?G?值增加一個額外的開銷。另一種選擇是，你可以遍歷你生成的路徑，查找那些用相鄰的方格替代會使路徑更平滑的地方。要了解更多，請看?Toward More Realistic Pathfinding?。
7.????非方形搜索區域：在我們的例子中，我們使用都是?2D?的方形的區域。你可以使用不規則的區域。想想冒險游戲中的那些國家，你可以設計一個像那樣的尋路關卡。你需要建立一張表格來保存國家相鄰關系，以及從一個國家移動到另一個國家的?G?值。你還需要一個方法了估算?H?值。其他的都可以向上面的例子一樣處理。當你向?open list?添加新項時，不是使用相鄰的方格，而是查看表里相鄰的國家。
類似的，你可以為一張固定地形的地圖的路徑建立路徑點系統。路徑點通常是道路或地牢通道的轉折點。作為游戲設計者，你可以預先設定路徑點。如果兩個路徑點的連線沒有障礙物的話它們被視為相鄰的。在冒險游戲的例子中，你可以保存這些相鄰信息在某種表中，當?open list?增加新項時使用。然后記錄?G?值（可能用兩個結點間的直線距離）和?H?值（可能使用從節點到目標的直線距離）。其它的都想往常一樣處理。
進一步閱讀(Further Reading)
Ok?，現在你已經對?A*?有了個基本的了解，同時也認識了一些高級的主題。我強烈建議你看看我的代碼，壓縮包里包含了?2?個版本的實現，一個是?C++?，另一個是?Blitz Basic?。?2?個版本都有注釋，你以該可以很容易就看懂。下面是鏈接：
Sample Code: A* Pathfinder (2D) Version 1.71?。
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如果你不會使用?C++?或是?BlitzBasic?，在?C++?版本下你可以找到兩個?exe?文件。?BlitzBasic?版本必須去網站Blitz Basic?下載?BlitzBasic 3D?的免費?Demo?才能運行。?在這里?here?你可以看到一個?Ben O'Neill?的?A*?在線驗證實例。
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你應該閱讀下面這幾個站點的文章。在你讀完本教程后你可以更容易理解他們。
Amit's A* Pages?：?Amit Patel?的這篇文章被廣泛引用，但是如果你沒有閱讀本教程的話，你可能會感到很迷惑。尤其是你可以看到?Amit Patel?自己的一些想法。
Smart Moves: Intelligent Path Finding?：?Bryan Stout?的這篇需要去?Gamasutra.com?注冊才能閱讀。Bryan?用?Delphi?寫的程序幫助我學習了?A*?，同時給了我一些我的程序中的一些靈感。他也闡述了?A*?的其他選擇。
Terrain Analysis?：?Dave Pottinger?一篇非常高階的，有吸引力的文章。他是?Ensemble Studios?的一名專家。這個家伙調整了游戲帝國時代和王者時代。不要期望能夠讀懂這里的每一樣東西，但是這是一篇能給你一些不錯的主意的很有吸引力的文章。它討論了包?mip-mapping?，
influence mapping?，和其他高階?AI?尋路主題。他的?flood filling?給了我在處理死路徑?”dead ends”?和孤島”island”?時的靈感。這包含在我的?Blitz?版本的程序里。
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下面的一些站點也值得去看看：
·?????????????????????aiGuru: Pathfinding
·?????????????????????Game AI Resource: Pathfinding
·?????????????????????GameDev.net: Pathfinding?
謝謝。
總結
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