單調隊列之滑動窗口

也許這種數據結構的名字你沒聽過， 其實沒啥難的， 就是?個「隊列」 ， 只是使?了?點巧妙的?法， 使得隊列中的元素單調遞增（或遞減） 。 這個數據結構有什么?？ 可以解決滑動窗?的?系列問題。

看?道 LeetCode 題?， 難度 hard：

給定一個數組 nums，有一個大小為 k 的滑動窗口從數組的最左側移動到數組的最右側。你只可以看到在滑動窗口內的 k 個數字。滑動窗口每次只向右移動一位。

返回滑動窗口中的最大值。

示例:

輸入: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], 和 k = 3 輸出: [3,3,5,5,6,7] 解釋: 滑動窗口的位置 最大值 --------------- ----- [1 3 -1] -3 5 3 6 7 31 [3 -1 -3] 5 3 6 7 31 3 [-1 -3 5] 3 6 7 51 3 -1 [-3 5 3] 6 7 51 3 -1 -3 [5 3 6] 7 61 3 -1 -3 5 [3 6 7] 7

?、 搭建解題框架

這道題不復雜， 難點在于如何在 O(1) 時間算出每個「窗?」 中的最?值，使得整個算法在線性時間完成。 在之前我們探討過類似的場景， 得到?個結論：

在?堆數字中， 已知最值， 如果給這堆數添加?個數， 那么?較?下就可以很快算出最值； 但如果減少?個數， 就不?定能很快得到最值了， ?要遍歷所有數重新找最值

回到這道題的場景， 每個窗?前進的時候， 要添加?個數同時減少?個數，所以想在 $O(1)$ 的時間得出新的最值， 就需要「單調隊列」 這種特殊的數據結構來輔助了

?個「單調隊列」 的操作也不多：

class MonotonicQueue {// 在隊尾添加元素 nvoid push(int n);// 返回當前隊列中的最?值int max();// 隊頭元素如果是 n， 刪除它void pop(int n); } class Solution { public:vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {MonotonicQueue window;vector<int> res;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {if (i < k - 1) { //先把窗?的前 k - 1 填滿window.push(nums[i]);} else{ // 窗?開始向前滑動window.push(nums[i]);res.push_back(window.max());window.pop(nums[i - k + 1]);// nums[i - k + 1] 就是窗?最后的元素}} return res;} };

這個思路很簡單， 能理解吧？ 下?我們開始重頭戲， 單調隊列的實現。

?、 實現單調隊列數據結構

?先我們要認識另?種數據結構： deque， 即雙端隊列。 很簡單：

class deque {// 在隊頭插?元素 nvoid push_front(int n);// 在隊尾插?元素 nvoid push_back(int n);// 在隊頭刪除元素void pop_front();// 在隊尾刪除元素void pop_back();// 返回隊頭元素int front();// 返回隊尾元素int back(); };

這些操作的復雜度都是 $O(1)$

「單調隊列」 的核?思路和「單調棧」 類似。 單調隊列的 push ?法依然在隊尾添加元素， 但是要把前??新元素?的元素都刪掉：

class MonotonicQueue {private:deque<int> data; public:void push(int n) {while (!data.empty() && data.back() < n)data.pop_back();data.push_back(n);} };

你可以想象， 加?數字的??代表?的體重， 把前?體重不?的都壓扁了，直到遇到更?的量級才停住。

如果每個元素被加?時都這樣操作， 最終單調隊列中的元素??就會保持?個單調遞減的順序， 因此我們的 max() API 可以可以這樣寫：

int max() {return data.front(); }

pop() API 在隊頭刪除元素 n， 也很好寫：

void pop(int n) {if (!data.empty() && data.front() == n)data.pop_front(); }

之所以要判斷 data.front() == n ， 是因為我們想刪除的隊頭元素 n 可能已經被「壓扁」 了， 這時候就不?刪除了

?此， 單調隊列設計完畢， 看下完整的解題代碼：

class MonotonicQueue { private:deque<int> data; public:void push(int n) {while (!data.empty() && data.back() < n)data.pop_back();data.push_back(n);} int max() { return data.front(); }void pop(int n) {if (!data.empty() && data.front() == n)data.pop_front();} };vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {MonotonicQueue window;vector<int> res;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {if (i < k - 1) { //先填滿窗?的前 k - 1window.push(nums[i]);} else { // 窗?向前滑動window.push(nums[i]);res.push_back(window.max());window.pop(nums[i - k + 1]);}} return res; }

讀者可能疑惑， push 操作中含有 while 循環， 時間復雜度不是 $O(1)$ 呀， 那
么本算法的時間復雜度應該不是線性時間吧？

單獨看 push 操作的復雜度確實不是 $O(1)$， 但是算法整體的復雜度依然是$O(N)$線性時間。 要這樣想， nums 中的每個元素最多被 $pus{h}_{b}ack$ 和$po{p}_{b}ack$ ?次， 沒有任何多余操作， 所以整體的復雜度還是 $O(N)$。空間復雜度就很簡單了， 就是窗?的??$O(k)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单调队列之滑动窗口的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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